Question

如圖，一次函數(shù)y=ax-1的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

．
（1）求a，k的值及點B的坐標；
（2）觀察圖象，請直接寫出不等式ax-1≥

k

x

的解集；
（3）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過A作AE⊥x軸，交x軸于點E，在Rt△AOE中，根據(jù)tan∠AOC的值，設(shè)AE=x，得到OE=3x，再由OA的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出A坐標，將A坐標代入一次函數(shù)解析式求出a的值，代入反比例解析式求出k的值，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B的坐標；
（2）由A與B交點橫坐標，根據(jù)函數(shù)圖象確定出所求不等式的解集即可；
（3）顯然P與O重合時，滿足△PDC與△ODC相似；當PC⊥CD，即∠PCD=90°時，滿足三角形PDC與三角形CDO相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等得到三角形PCO與三角形CDO相似，由相似得比例，根據(jù)OD，OC的長求出OP的長，即可確定出P的坐標．

解答：解：（1）過A作AE⊥x軸，交x軸于點E，
在Rt△AOE中，OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，
設(shè)AE=x，則OE=3x，
根據(jù)勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即10=9x²+x²，
解得：x=1或x=-1（舍去），
∴OE=3，AE=1，即A（3，1），
將A坐標代入一次函數(shù)y=ax-1中，得：1=3a-1，即a=

2

3

，
將A坐標代入反比例解析式得：1=

k

3

，即k=3，
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例解析式得：

y= 2 3 x-1 y= 3 x

，
消去y得：

2

3

x-1=

3

x

，
解得：x=-

3

2

或x=3，
將x=-

3

2

代入得：y=-1-1=-2，即B（-

3

2

，-2）；
（2）由A（3，1），B（-

3

2

，-2），
根據(jù)圖象得：不等式

2

3

x-1≥

3

x

的解集為-

3

2

≤x＜0或x≥3；
（3）顯然P與O重合時，△PDC∽△ODC；
當PC⊥CD，即∠PCD=90°時，∠PCO+∠DCO=90°，
∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，
∴△PDC∽△CDO，
∵∠PCO+∠CPO=90°，
∴∠DCO=∠CPO，
∵∠POC=∠COD=90°，
∴△PCO∽△CDO，
∴

CO

DO

=

PO

CO

，
對于一次函數(shù)解析式y(tǒng)=

2

3

x-1，令x=0，得到y(tǒng)=-1；令y=0，得到x=

3

2

，
∴C（

3

2

，0），D（0，-1），即OC=

3

2

，OD=1，
∴

3 2

1

=

PO

3 2

，即OP=

9

4

，
此時P坐標為（0，

9

4

），
綜上，滿足題意P的坐標為（0，

9

4

）或（0，0）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解本題第二問的關(guān)鍵．