Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過?ABCD的頂點A、D，求D點的坐標．

Answer 1

分析 由A點坐標可求得反比例函數(shù)解析式，作AE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，由條件可證明△AEB≌△CFD，可求得CF，則可求得D點縱坐標，再把D點縱坐標代入可求得D點坐標．

解答 解：
如圖，作AE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，延長AD交x軸于點N，延長DA，
∵A點在雙曲線y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=（1-$\sqrt{5}$）×（1+$\sqrt{5}$）=1-5=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{x}$，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠MAE=∠DNC=∠BCO，且∠BAD=∠DCB，
∵∠MAE+∠EAB+∠DAB=∠DCF+∠DCB+∠BCO=180°，
∴∠DCF=∠EAB，
在△AEB和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴DF=BE，
∴A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），
∴OB=1，OE=1+$\sqrt{5}$，
∴BE=OE-OB=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，
∴D點縱坐標為$\sqrt{5}$，
又點D在雙曲線上，
∴$\sqrt{5}$=-$\frac{4}{x}$，解得x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴D點坐標為（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象上點的坐標，利用條件證得△AEB≌△CFD求得DF的長是解題的關(guān)鍵．