Question

【題目】如圖1，已知直線y=2x分別與雙曲線， 交于P、Q(1，n)兩點(diǎn)．

（1）求k的值．

（2）如圖2，點(diǎn)A是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線于點(diǎn)B、C，連接BC．試探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC的面積是否變化？若不變，請(qǐng)求出△ABC的面積；若改變，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，過點(diǎn)B作AC的平行線交直線y=2x于點(diǎn)D，請(qǐng)你進(jìn)一步探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，tan∠ACB=tan∠ADB能否成立？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值為2； (2)不變；（3）能成立.當(dāng)tan∠ADB= tan∠ACB時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ）或（2，4）．

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)Q（1，n）代入y=2x得求得n的值，再將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入，可得k的值；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），易得b=，結(jié)合條件可用a的代數(shù)式表示點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段AB、AC的長，就可算出△BAC的面積是一個(gè)定值；

（3）由an∠ADB= tan∠ACB可得，DB=AC，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，則可得到相應(yīng)B、D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AC、BD，即可求得a的值.

試題解析：（1）將點(diǎn)Q（1，n）代入y=2x得：n=2×1=2，

將點(diǎn)Q（1，2）代入得:k=2×1=2，

∴k的值為2；

（2）不變.

由題意設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a， ），

∵AB∥x軸，AC∥y軸，

∴xC=xA=a，yB=yA=b=．

∵點(diǎn)B、C在雙曲線y=上，

∴xB==，yC=．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（， ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a， ）．

∴AB= ，AC=．

∴S△ABC=ABAC=．

∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC的面積不變，始終等于．

（3）能成立.

∵tan∠ADB= tan∠ACB， ，DB=AC，

由題意設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a， ），則：

B（， ）、C（a， ）、D（， ）

∴AC=，DB=

∴ =

解得： ， （舍），， （舍）

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2， ）或（2，4）．

綜上所述：當(dāng)tan∠ADB= tan∠ACB時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ）或（2，4

備注：當(dāng)點(diǎn)A為（2， ）時(shí)，如圖3所示；

當(dāng)點(diǎn)A為（2，4）時(shí)，如圖4所示.