Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．

（1）求證：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠ACD=∠BCD=45°。
∴∠DAB=∠ABD=45°�！唷鱀AB為等腰直角三角形。
∴DO⊥AB。
∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD。
∴DP∥AB。
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB為等腰直角三角形，∴。
∵AE⊥CD，∴△ACE為等腰直角三角形。∴。
在Rt△AED中，，
∴。
∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°�！唷螾AD=∠PCD。
又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD�！�。
∴PA=PD，PC=PD。
又∵PC=PA+AC，∴PD+6=PD，解得PD=。

試題分析：（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB。
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到；由△ACE為等腰直角三角形，得到，在Rt△AED中利用勾股定理計(jì)算出DE=，則CD=，易證得∴△PDA∽△PCD，得到，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計(jì)算出PD。