Question

如圖所示，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)，C，D，B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上求一點P，使△ABP是以AB為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的頂點為A（2，1），設(shè)拋物線頂點式，把點O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依題意得CD∥OB，CD=OB=4，又對稱軸x=2，故D點橫坐標(biāo)x=6，代入拋物線解析式可求D點縱坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸可求滿足條件的點D′；
（3）當(dāng)∠A為直角頂點時，設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，b），利用直角三角形三邊關(guān)系得出a，b的值，再利用當(dāng)∠B為直角頂點時，求出P點坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+1，
將點B（4，0）的坐標(biāo)代入得：
．
所以二次函數(shù)的解析式為；

（2）如圖1，當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時，CD=OB，
由0=-（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于對稱軸x=2
∴D點的橫坐標(biāo)為6．
將x=6代入y=-（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根據(jù)拋物線的對稱性可知，
在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，此時D點的坐標(biāo)為（-2，-3），
當(dāng)四邊形OCBD是平行四邊形時，D點即為A點，此時D點的坐標(biāo)為（2，1）
綜上所述：D點的坐標(biāo)分別為（2，1），（-2，-3）或（6，-3）；

（3）如圖2，當(dāng)∠A為直角頂點時，設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，b），
則
解得
所以P（-6，-15）．
同理可得當(dāng)∠B為直角頂點時，P（-8，-24）．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，利用拋物線的性質(zhì)尋找平行四邊形等問題，需要根據(jù)拋物線的對稱性，形數(shù)結(jié)合，解答問題．