Question

解下列關(guān)于x的不等式． （1）|x|＜|x+1|	（2）1＜|5x-1|≤4	（3）|x+1|+|x+2|＜4
（4）|2x-1|＜|3x+2|	（5）2|1-2|1-2x||+2x＜1	（6）（x+1）|x-1|＞0
（7）| x x+1 |＞ x x+1	（8）|2x-3|＞x	（9）|x-3|≥2x-1
（10）|x-3|＜2x-1	（11）|x-2|＞a	（12）|x+4|≤2a-1．

Answer 1

分析：（1）兩邊平方，即可轉(zhuǎn)化成一元一次方程，去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而求解；
（2）去掉絕對(duì)值符號(hào)，可以得到1＜5x-1≤4或-4≤5x-1＜-1，解不等式即可求得x的范圍；
（3）分x＜-2，-2≤x＜-1和x≥-1三種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式即可求解；
（4）兩邊平方即可得到關(guān)于x的不等式，即可求解；
（5）分1-2x大于0和小于0兩種情況討論，然后再討論去掉絕對(duì)值符號(hào)從而求解；
（6）根據(jù)絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即可得得到關(guān)于x的不等式組，從而求解；
（7）

x

x+1

一定是一個(gè)負(fù)數(shù)，據(jù)此即可求解；
（8）分2x-3≥0和2x-3＜0兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)即可求解；
（8）分2x-3≥0和2x-3＜0兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)即可求解；
（9）分x-3≥0和x-3＜0兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)即可求解；
（10）分x-3≥0和x-3＜0兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)即可求解；
（11）首先討論a的符號(hào)，當(dāng)a＜0時(shí)，x是任意數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，即可轉(zhuǎn)化成不等式x-2＞a或x-2＜-a求解；
（12）分2a-1＜0和2a-1≥0兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)2a-1＜0時(shí)無(wú)解，當(dāng)2a-1≥0時(shí)，不等式可以化成1-2a≤x+4≤2a-1，即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：x²＜（x+1）²，即2x+1＞0，解得：x＞-

1

2

；

（2）根據(jù)題意得：1＜5x-1≤4或-4≤5x-1＜-1，
解得：

2

5

＜x≤1或-

3

5

≤x＜0；

（3）當(dāng)x＜-2時(shí)，原式可化為：-x-1-x-2＜4，解得：x＞-

7

2

，則-

7

2

＜x＜-2；
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，原式可化為：-x-1+x+2＜4，成立，則-2≤x＜-1；
當(dāng)x≥-1時(shí)，原式可化為：x+1+x+2＜4，解得：x＜

1

2

，則-1≤x＜

1

2

．
總之，x的范圍是：-

7

2

＜x＜

1

2

；

（4）兩邊平方得：4x²-4x+1＜9x²+12x+4，
即5x²+16x+3＞0，（5x+1）（x+3）＞0，
則x＞-

1

5

或x＜-3；

（5）①當(dāng)1-2x≥0，即x≤

1

2

時(shí)，原式可化為：2|4x-1|+2x＜1，
當(dāng)4x-1≥0，即

1

4

≤x≤

1

2

時(shí)，原式可化為：8x-2+2x＜1，解得：x＜

3

10

，
則

1

4

≤x＜

3

10

；
當(dāng)4x-1＜0，即x＜

1

4

時(shí)，原式可化為：2-8x+2x＜1，解得：x＞

1

6

，則

1

6

＜x＜

1

4

；
②當(dāng)1-2x＜0，即x＞

1

2

時(shí)，原式可以化成：2|3-4x|+2x＜1，
當(dāng)3-4x≥0，即

1

2

＜x≤

3

4

時(shí)，原式可化成：6-8x+2x＜1，解得：x＞

5

6

，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)3-4x＜0，即x＞

3

4

時(shí)，原式可以化成：8x-6+2x＜1，解得：x＜

7

10

，則

1

2

＜x＜

7

10

．
總之，x的范圍是：

1

6

＜x＜

3

10

或

1

2

＜x＜

7

10

．

（6）根據(jù)題意得：

x-1≠0 x+1＞0

，
解得：x＞-1且x≠1；

（7）根據(jù)題意得：

x

x+1

＞0，
即：

x＞0 x+1＞0

或

x＜0 x+1＜0

，
解得：x＞0或x＜-1；

（8）當(dāng)2x-3≥0，即x≥

3

2

時(shí)，原式可以化成：2x-3＞x，解得：x＞3；
當(dāng)2x-3＜0，即x＜

3

2

時(shí)，原式可以化成3-2x＞x，解得：x＜1．
則x的范圍是：x＜1或x＞3；

（9）當(dāng)x-3≥0，即x≥3時(shí)，原式可以化成x-3≥2x-1，解得：x≤-2，則無(wú)解；
當(dāng)x-3＜0時(shí)，即x＜3時(shí)，原式可以化成3-x≥2x-1，解得：x≤

4

3

．
則x的范圍是：x≤

4

3

；

（10）當(dāng)x-3≥0，即x≥3時(shí)，原式可以化成x-3＜2x-1，解得：x＞-2，則x≥3，
當(dāng)x-3＜0時(shí)，即x＜3時(shí)，原式可以化成3-x＜2x-1，解得：x＞

4

3

，則

4

3

＜x＜3．
則x的范圍是：x≥

4

3

；

（11）當(dāng)a＜0時(shí)，x是任意數(shù)；
當(dāng)a≥0時(shí)，x-2＞a或x-2＜-a，
解得：x＞a+2或x＜2-a；

（12）當(dāng)2a-1＜0時(shí)，即a＜

1

2

時(shí)，不等式無(wú)解；
當(dāng)2a-1≥0，即a≥

1

2

時(shí)，不等式可以化成：1-2a≤x+4≤2a-1，
解得：-2a-3≤2a+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有絕對(duì)值的不等式的解法，正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．