Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=6cm，AB=8cm，E是BC上的一點，且BE=5cm，過點E作EF⊥BD，垂足為F，點P從D出發(fā)沿DB方向向點B運動，速度為1cm/秒，運動時間為t秒．在矩形邊上找一點Q，使得以E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則t值為

 

秒．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：根據(jù)條件可證明△BEF∽△BDC，可求得EF，當(dāng)以E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形時結(jié)合條件可知PQ∥EF，且PQ=EF，再分Q在AD、AB、CD三邊上分別求得PD的長，可求得t的值．

解答：解：∵BC=6cm，AB=8cm，
∴BD=10，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠C=∠EFB，且∠EBF=∠CBD，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

CD

，即

5

10

=

EF

8

，
∴EF=4cm，
當(dāng)以E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PQ=EF=4cm，且PQ∥EF，
∵EF⊥BD，
∴PQ⊥BD，
∴∠QPD=90°，
設(shè)運動時間為t秒，則PD=tcm，
①當(dāng)Q在AD上時，如圖1，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠QPD=90°，且∠QDP=∠BDA，
∴△QPD∽△BAD，
∴

PD

AD

=

PQ

AB

，即

PD

6

=

4

8

，
∴PD=4，所以t=4s，
②當(dāng)Q在AB上時，如圖2，

同理可得

PB

AB

=

PQ

AD

，即

PB

8

=

4

6

，解得PB=

16

3

，
∴PD=BD-PB=10-

16

3

=

14

3

，
∴t=

14

3

s，
③當(dāng)Q在CD上時，如圖3，

同理可得

PD

CD

=

PQ

BC

，即

PD

8

=

4

6

，解得PD=

16

3

，
∴t=

16

3

s，
綜上可知t的值為4秒或

14

3

秒或

16

3

秒，
故答案為：4或

14

3

或

16

3

．

點評：本題主要考查矩形及平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，由條件確定出Q點所在的位置是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．