Question

【題目】如圖，已知的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CG∥AD交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．

（1）求證：CG是⊙O的切線；

（2）若AB=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）已知點(diǎn)C在圓上，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切線．

（2）連接BD，先通過證明△BDE∽△OCE ，推出，再由Rt△OCE中，通過三角函數(shù)的定義，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=1可得CE的長(zhǎng)．

（1）由題意知點(diǎn)C在圓上，

∵CF⊥AD，

∴∠AFC=90°

∵CG∥AD，

∴∠FCG=90°，

∴OC⊥CG．

∴CG是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

又∵∠AFO=90°，

∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．

∴△BDE∽△OCE．

∵AE⊥CD，且AE過圓心O，

∴CE=DE．

∴BE=OE．

∵AB=4，AB⊥CD

∴，

又∵，

∴

∵AB⊥CD，

∴CD=2CE=．