Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，CD是斜邊AB的中線(xiàn)，△ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度得到△A'DC'，A'D交AC于點(diǎn)E，DC'交BC于點(diǎn)F，連接EF，若，則=　　．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線(xiàn)的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，運(yùn)用“ASA”證明△ADE≌△CDF，得DE=DF．則有DE：DA′=DF：DC′，得EF∥A′C′．根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，CD是斜邊AB的中線(xiàn)，

∴CD⊥AB，CD=AD，∠A=∠BCD=45°．

又∵∠ADE=90°﹣∠CDE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF （ASA）

∴DE=DF．

∵DA=DA′，DC=DC′，

∴DE：DA′=DF：DC′，

∴EF∥A′C′．

∴△DEF∽△DA′C′，

∴．

∵，則，

∴．

故答案為．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．