【題目】如圖,矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上,邊OC在y軸正半軸上,B點的坐標(biāo)為(1,3).矩形O'A'BC'是矩形OABC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的.O'點恰好在x軸的正半軸上, O'C'交AB于點D.

(1)求點O'的坐標(biāo),并判斷△O'DB的形狀(要說明理由)

(2)求邊C'O'所在直線的解析式.

(3)延長BA到M使AM=1,在(2)中求得的直線上是否存在點P,使得ΔPOM是以線段OM為直角邊的直角三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)點O'的坐標(biāo)(2,0),△O'DB為等腰三角形,理由略見解析;(2)邊C'O'所在直線的解析式: ; (3)P(2,0),

【解析】

(1)連接OB,O′B,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B,再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′,然后根據(jù)點B的坐標(biāo)求出AO的長度,再得到AO′的長度,點O′的坐標(biāo)即可得到;利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等,然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到BD=O′D,所以△O′DB是等腰三角形;

(2)設(shè)點D的坐標(biāo)是(1,a),表示出O′D的長度,然后利用勾股定理列式求出a的值,從而得到點D的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式;

(3)根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形,然后分①PM是另一直角邊,∠PMA=45°,②PO是另一直角邊,∠POA=45°兩種情況列式進行計算即可得解.

解:(1)如圖,連接OBO′B,則OB=O′B


∵四邊形OABC是矩形,
BAOA,
AO=AO′,
B點的坐標(biāo)為(1,3),
OA=1,
AO′=1,
∴點O′的坐標(biāo)是(2,0),
O′DB為等腰三角形,
理由如下:在△BC′D與△O′AD中,

∴△BC′D≌△O′ADAAS),
BD=O′D,
∴△O′DB是等腰三角形;

2)設(shè)點D的坐標(biāo)為(1a),則AD=a,
∵點B的坐標(biāo)是(1,3),
O′D=3-a,
RtADO′中,AD2+AO′2=O′D2,
a2+12=3-a2,
解得

∴點D的坐標(biāo)為

設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b,
解得

∴邊C′O′所在直線的解析式:


3)∵AM=1AO=1,且AMAO,
∴△AOM是等腰直角三角形,
PM是另一直角邊時,∠PMA=45°,
PA=AM=1,點P與點O′重合,
∴點P的坐標(biāo)是(2,0),
PO是另一直角邊,∠POA=45°,則PO所在的直線為y=x

解得

∴點P的坐標(biāo)為P2,0)或

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1)在圖2中,,.請在圖2中畫出關(guān)于點的二分割線,且角度是

2)已知,在圖3中畫出不同于圖1,圖2,所畫同時滿足:為最小角;②存在關(guān)于點的二分割線.的度數(shù)是 ;

3)已知同時滿足:①為最小角;②存在關(guān)于點的二分割線.請求出的度數(shù)(用表示).

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材料二:如圖2,由課本92頁例3畫函數(shù)y2x1y=﹣0.5x+1可知,利用所學(xué)知識一定能證出這兩條直線是互相垂直的.由此我們得到正確的結(jié)論二:在直線L1y=k1x+b1 L2y=k2x+b2 中,如果k1·k2=-1那么L1L2,反過來,也成立

應(yīng)用舉例

已知直線y=﹣x+5與直線ykx+2互相垂直,則﹣k=﹣1.所以k6

解決問題

(1)請寫出一條直線解析式______,使它與直線yx3平行.

(2)如圖3,點A坐標(biāo)為(1,0),點P是直線y=﹣3x+2上一動點,當(dāng)點P運動到何位置時,線段PA的長度最?并求出此時點P的坐標(biāo).

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