【題目】如圖,已知拋物線y= x2﹣ (b+1)x+ (b是實數(shù)且b>2)與x軸的正半軸分別交于點A、B(點A位于點B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點C.
(1)點B的坐標為 , 點C的坐標為(用含b的代數(shù)式表示);
(2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)?如果存在,求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】
(1)(b,0);(0, )
(2)
解:存在,
假設存在這樣的點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形.
設點P的坐標為(x,y),連接OP.
則S四邊形PCOB=S△PCO+S△POB= x+ by=2b,
∴x+4y=16.
過P作PD⊥x軸,PE⊥y軸,垂足分別為D、E,
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.
∴四邊形PEOD是矩形.
∴∠EPD=90°.
∴∠EPC=∠DPB.
∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y.
由 解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB,即 ﹣ =b﹣ ,
解得b= >2符合題意.
∴P的坐標為( , )
(3)
解:假設存在這樣的點Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA與△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x軸.
∵b>2,
∴AB>OA,
∴∠Q0A>∠ABQ.
∴只能∠AOQ=∠AQB.此時∠OQB=90°,
由QA⊥x軸知QA∥y軸.
∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA與△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
(I)當∠OCQ=90°時,△CQO≌△QOA.
∴AQ=CO= .
由AQ2=OAAB得:( )2=b﹣1.
解得:b=8±4 .
∵b>2,
∴b=8+4 .
∴點Q的坐標是(1,2+ ).
(II)當∠OQC=90°時,△OCQ∽△QOA,
∴ ,即OQ2=OCAQ.
又OQ2=OAOB,
∴OCAQ=OAOB.即 AQ=1×b.
解得:AQ=4,此時b=17>2符合題意,
∴點Q的坐標是(1,4).
∴綜上可知,存在點Q(1,2+ )或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.
【解析】解:(1)令y=0,即y= x2﹣ (b+1)x+ =0,
解得:x=1或b,
∵b是實數(shù)且b>2,點A位于點B的左側(cè),
∴點B的坐標為(b,0),
令x=0,
解得:y= ,
∴點C的坐標為(0, ),
所以答案是:(b,0),(0, );
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一點O為圓心,以OA為半徑的圓交AC于點D,交AB于點E.
(1)求證:ACAD=ABAE;
(2)如果BD是⊙O的切線,D是切點,E是OB的中點,當BC=2時,求AC的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=2,CD⊥AB于D,點P是線段CD上的一個動點,以點P為直角頂點向下作等腰直角△PBE,
連接DE ,則DE的最小值為__________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在數(shù)軸l上,一動點Q從原點O出發(fā),沿直線l以每秒鐘2個單位長度的速度來回移動,其移動方式是先向右移動1個單位長度,再向左移動2個單位長度,又向右移動3個單位長度,再向左移動4個單位長度,又向右移動5個單位長度…
(1)求出5秒鐘后動點Q所處的位置;
(2)如果在數(shù)軸l上還有一個定點A,且A與原點O相距20個單位長度,問:動點Q從原點出發(fā),可能與點A重合嗎?若能,則第一次與點A重合需多長時間?若不能,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD中點,將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于F,若AB=6,BC=,則CF的長為_______
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于O點,AB=5,AC=6,過D點作DE//AC交BC的延長線于E點
(1)求△BDE的周長
(2)點P為線段BC上的點,連接PO并延長交AD于點Q,求證:BP=DQ
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“低碳環(huán)保,你我同行”.儀征市區(qū)的公共自行車給市民出行帶來不少方便.我校數(shù)學社團小學員走進小區(qū)隨機選取了市民進行調(diào)查,調(diào)查的問題是“您大概多久使用一次公共自行車?”,將本次調(diào)查結(jié)果歸為四種情況: A.每天都用;B.經(jīng)常使用;C.偶爾使用;D.從未使用.
將這次調(diào)查情況整理并繪制如下兩幅統(tǒng)計圖:
根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)本次活動共有位市民參與調(diào)查;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,若市區(qū)有26萬市民,請估算每天都用公共自行車的市民約有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】仔細觀察下面由“※”組成的圖案和算式,解答問題:
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
(1)請計算:
1+3+5+7+9+ … +19= ;
(2)請猜想:
1+3+5+7+9+ … +(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)= ;
(3)請用上述規(guī)律計算:
103+105+107+ … +2013+2015
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com