Question

如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S_扇形=，由弧長(zhǎng)l=，得S_扇形==••R=lR．通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)S_扇形=lR類似于S_三角形=×底×高．

類比扇形，我們探索扇環(huán)（如圖②，兩個(gè)同心圓圍成的圓環(huán)被扇形截得的一部分交作扇環(huán)）的面積公式及其應(yīng)用．

（1）設(shè)扇環(huán)的面積為S_{扇環(huán)}，的長(zhǎng)為l₁，的長(zhǎng)為l₂，線段AD的長(zhǎng)為h（即兩個(gè)同心圓半徑R與r的差）．類比S_梯形=×（上底+下底）×高，用含l₁，l₂，h的代數(shù)式表示S_{扇環(huán)}，并證明；

（2）用一段長(zhǎng)為40m的籬笆圍成一個(gè)如圖②所示的扇環(huán)形花園，線段AD的長(zhǎng)h為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

（1）S_{扇環(huán)}=（l₁﹣l₂）h，

證明：設(shè)大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數(shù)為n，則由l=，得R=，r=

所以圖中扇環(huán)的面積S=×l₁×R﹣×l₂×r

=l₁•﹣l₂•

=（l₁²﹣l₂²）

=（l₁+l₂）（l₁﹣l₂）

=••（R﹣r）（l₁﹣l₂）

=（l₁﹣l₂）（R﹣r）

=（l₁+l₂）h，

故猜想正確．

（2）解：根據(jù)題意得：l₁+l₂=40﹣2h，

則S_{扇環(huán)}=（l₁+l₂）h

=（40﹣2h）h

=﹣h²+20h

=﹣（h﹣10）²+100

∵﹣1＜0，

∴開(kāi)口向下，有最大值，

當(dāng)h=10時(shí)，最大值是100，

即線段AD的長(zhǎng)h為10m時(shí)，花園的面積最大，最大面積是100m²．