Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

．點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于P，交過點(diǎn)A的直線y=-x+n于點(diǎn)C．
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）若PM=

3

2

，求PC的長(zhǎng)；
（3）過P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過Q作QN⊥x軸于N，若點(diǎn)P在Q左側(cè)，矩形PMNQ的周長(zhǎng)記為d，求d的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）代入y=-x+n，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=

3

2

，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，組成關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C（m，-m-1），得出PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3．由PM=

3

2

，得到-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，即m²=3m+1，m=

3± 13

2

，進(jìn)而求出PC=

8± 13

2

；
（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=-m²-m+10，將-m²-m+10配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出矩形PMNQ的周長(zhǎng)的最大值．

解答：解：（1）∵直線y=-x+n過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-1；
∵拋物線y=ax²+bx+2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴拋物線的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如圖，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-1）．
∵點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，
∴-1＜m＜4．
∴PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PM=

3

2

，
∴-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，
整理，得m²-3m-1=0，
∴m²=3m+1，m=

3± 13

2

，
∴PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（3m+1）+

5

2

m+3=m+

5

2

，
∴當(dāng)m=

3± 13

2

時(shí)，PC=

8± 13

2

；

（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=2（PM+MN）=2（-

1

2

m²+

3

2

m+2+3-2m）=-m²-m+10．
∵-m²-m+10=-（m+

1

2

）²+

41

4

，
∴當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，d有最大值=

41

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．