Question

（2005•揚(yáng)州）如圖1，AB是⊙O的直徑，射線(xiàn)BM⊥AB，垂足為B，點(diǎn)C為射線(xiàn)BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（C與B不重合），連接AC交⊙O于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交BC于E．
（1）在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)DE∥AB時(shí)（如圖2），求∠ACB的度數(shù)；
（2）在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試比較線(xiàn)段CE與BE的大小，并說(shuō)明理由；
（3）∠ACB在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線(xiàn)段DC上存在點(diǎn)G，滿(mǎn)足條件BC²=4DG•DC（請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接圓心和切點(diǎn)，可得到∠ODE=90°，那么可得∠AOD=90°，所以∠A=45°，進(jìn)而可求得∠ACB的度數(shù)；
（2）證CE、DE是否相等，即求∠ECD和∠EDC是否相等；連接BD，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知△EDB是等腰三角形，即∠EDB=∠EBD；在Rt△CDB中，可發(fā)現(xiàn)∠ECD和∠EDC是等角的余角，由此得證；
（3）由（2）的結(jié)論易知：DE是Rt△CDB斜邊上的中線(xiàn)，即BC=2DE，將此關(guān)系式代入所求證的結(jié)論中，可得DE²=DG•DC；由此可證得△DEG∽△DCE，即∠DEG=∠ACB；進(jìn)而可根據(jù)∠DGE和∠ACB的大小關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，求出∠ACB的取值范圍．
解答：
解：（1）如圖2：當(dāng)DE∥AB時(shí)，連接OD，
∵DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥AB；
又∵OD=OA，
∴∠A=45°，
又∵BM⊥AB，
∴∠OBE=90°，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°；
即：當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，DE∥AB；
（本問(wèn)證明的方法比較多，對(duì)于其它方法，只要是正確的，請(qǐng)參照給分）

（2）如圖1，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∠EDB+∠CDE=90°；
又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴MB是⊙O的切線(xiàn)，
又∵DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ACB=∠CDE，
∴EC=ED，
∴BE=EC；

（3）假設(shè)在線(xiàn)段CD上存在點(diǎn)G，使BC²=4DG•DC，
由（2）知：BE=CE，
∴BC=2CE=2DE，
∴（2DE）²=4 DG•DC，從而DE²=DG•DC；
由于∠CDE是公共角，
∴△DEG∽△DCE，
∴∠ACB=∠DEG；
令∠ACB=x，∠DGE=y，
∴∠CDE=∠ACB=x，
∵C和B不重合，
∴BC＞0，
∴D和G就不能夠重合，但是，G可以和C重合，
∴要使線(xiàn)段CD上的G點(diǎn)存在，則要滿(mǎn)足：2x+y=180°且y≥x，因此x≤60°，
∴0°＜∠ACB≤60°時(shí)，滿(mǎn)足條件的G點(diǎn)存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等．綜合性強(qiáng)，難度較大．