【題目】如圖,E是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn),EM⊥BC,EN⊥CD垂足分別是求M、N

(1)求證:AE=MN;
(2)若AE=2,∠DAE=30°,求正方形的邊長.

【答案】
(1)

證明:連接EC.

∵四邊形ABCD是正方形,EM⊥BC,EN⊥CD,

∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°,

∴四邊形EMCN為矩形.

∴MN=CE.

又∵BD為正方形ABCD的對角線,

∴∠ABE=∠CBE.

在△ABE和△CBE中

,

∴△ABE≌△CBE(SAS).

∴AE=EC.

∴AE=MN.


(2)

解:過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,

∵AE=2,∠DAE=30°,

∴EF= AE=1,AF=AEcos30°=2× =

∵BD是正方形ABCD的對角線,

∴∠EDF=45°,

∴DF=EF=1,

∴AD=AF+DF= +1,即正方形的邊長為 +1.


【解析】(1)連接EC,根據(jù)題意可得出四邊形EMCN為矩形,故MN=CE,再由SAS定理得出△ABE≌△CBE,進(jìn)而可得出結(jié)論;(2)過點(diǎn)E作EF⊥AD,由直角三角形的性質(zhì)可得出EF及AF的長,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF的長,進(jìn)而可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

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