Question

已知△ABC中，有兩個(gè)內(nèi)角分別為45°和60°，若一邊長(zhǎng)為4，求該△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：分類討論

分析：需要分類討論：邊長(zhǎng)為4的邊所對(duì)的內(nèi)角不同．通過(guò)作高線AD將△ABC化為兩個(gè)直角三角形，通過(guò)解這2個(gè)直角三角形求得BC、AD的長(zhǎng)度，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
①當(dāng)AB=4時(shí)．
在Rt△ABD中，AD=BD=AB•sin45°=2

2

．
在Rt△ACD中，CD=AD•cot60°=

2

3

6

．
則BC=BD+CD=2

2

+

2

3

6

．
所以 S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×（2

2

+

2

3

6

）×2

2

=4+

4 3

3

；
②當(dāng)BC=4時(shí)，設(shè)AD=x，則BD=AD=x，CD=4-x．
在Rt△ACD中，CD=AD•cot60°，即4-x=

3

3

x，
解得 x=6-2

3

，
故 S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4×（6-2

3

）=12-4

3

；
③當(dāng)AC=4時(shí)．
在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=4×

1

2

=2，AD=AC•sin60°=4×

3

2

=2

3

．
則BD=AD=2

3

，
則S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×（2

3

+2）×2

3

=6+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形．本題中沒(méi)有指明4是那一條邊的長(zhǎng)度，所以需要對(duì)該邊進(jìn)行分類討論，以防漏解．