【題目】如圖,是直徑,以為邊作等腰,且,與邊相交于點,過點作于點,并交的延長線于點.
(1)求證:是的切線.
(2)若,°,求由線段、及所圍成的圖形(陰影部分)面積.
(3)若,,求的長.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)FD=.
【解析】
(1)證明切線需要連接圓心,由OA=OD,BA=BC,可以得到∠A=∠ODA=∠C,所以OD∥BC,由平行線性質(zhì)可得,∠ODE=∠DEC=.
(2)根據(jù)∠F=,OD⊥DF,可判斷出△ODF是等腰直角三角形,則陰影部分面積=.
(3)先由角的等量轉(zhuǎn)換求出∠FDB=∠A,可得△FDA∽△FBD,由相似比及,即可解出FD的長.
(1)證明:連接OD,OA=OD,∠OAD=∠ODA,
又 AB=CB,∠BAC=∠BCA,
∠ODA=∠BCA,OD // BC,
又 DE⊥BC,DE⊥OD,且DF經(jīng)過⊙O的半徑OD的外端點,
DF是⊙O的切線.
(2)解: ∵∠F=45°,DF⊥OD
∴∠FOD=45°,
∴△ODF是等腰直接三角形,
∴,
∴.
∴
∴
(3)解:由(1)知, ∠FDB=90°-∠ODB,
又 ∴∠FAD =90°-∠OBD,
∴OD =OB,
∴∠ODB =∠OBD,
∴∠FDB =∠FAD .
在FDB和FAD中,
∴∠FDB =∠FAD,
∠BFD =∠DFA,
∴FDB∽∠FAD.
∴,
∴ ①,
又
∴
∴ ②.
把①代入②得
∴FD=3FB
又由勾股定理
∴AB=
∴OD=
由勾股定理:
即 ③
把①代入③,解得
FD=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如圖1,若直線AD與BC相交于M,過點B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長BD至E,使得DE=DC,過點E作EF⊥CD于F,證明:AD=EF+BD.
(2)如圖2,若直線AD與CB的延長線相交于M,過點B作AM的垂線,垂足為D,連接CD并延長BD至E,使得DE=DC,過點E作EF⊥CD交CD的延長線于F,探究:AD、EF、BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點P為△ABC邊上一動點,沿著A→C→B的路徑行進,點P作PD⊥AB,垂足為D,設(shè)AD=x,△APD的面積為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,則依據(jù)圖中的數(shù)量關(guān)系計算△ACB的周長為( )
A.B.15C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想,某森林保護區(qū)開展了尋找古樹活動.如圖,在一個坡度(或坡比)=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵占樹CD.測得古樹底端C到山腳點A的距離AC=26米,在距山腳點A水平距離6米的點E處,測得古樹頂端D的仰角∠AED=48°(古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上,古樹CD與直線AE垂直),則古樹CD的高度約為( )(參考數(shù)據(jù):°≈0.73,cos8°≈0.67,tan48°≈1.11)
A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點C,交x軸于點A(﹣1,0)、B(4,0)(A點在B點左側(cè)),頂點為D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△ABC沿直線BC對折,點A的對稱點為A′,試求A′的坐標;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使∠BPC=∠BAC?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】為普及防治新型冠狀病毒感染的科學(xué)知識和有效方法,不斷增強同學(xué)們的自我保護意識,學(xué)校舉辦了新型冠狀病毒疫情防控網(wǎng)絡(luò)知識競答活動,試卷題目共10題,每題10分.現(xiàn)分別從七年級的三個班中各隨機取10名同學(xué)的成績(單位:分),收集數(shù)據(jù)如表:
1班:90,70,80,80,80,80,80,90,80,100;
2班:70,80,80,80,60,90,90,90,100,90;
3班:90,60,70,80,80,80,80,90,100,100.
整理數(shù)據(jù):
分數(shù) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
1班 | 0 | 1 | 6 | 2 | 1 |
2班 | 1 | 1 | 3 | a | 1 |
3班 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 |
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
1班 | 83 | 80 | |
2班 | 83 | c | d |
3班 | b | 80 | 80 |
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)請直接寫出表格中a,b,c,d的值;
(2)比較這三組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),你認為哪個班的成績比較好?請說明理由;
(3)為了讓同學(xué)們重視疫情防控知識的學(xué)習,學(xué)校將給競答成績滿分的同學(xué)頒發(fā)獎狀,該校七年級新生共600人,試估計需要準備多少張獎狀?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=6cm,AC=BD=4cm.∠CAB=∠DBA,點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動,同時,點Q在線段BD上由點B向點D運動.它們運動的時間為t(s).設(shè)點Q的運動速度為xcm/s,若使得△ACP與△BPQ全等,則x的值為_____.
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【題目】材料:對任意一個n位正整數(shù)M(n≥3),若M與它的十位數(shù)字的p倍的差能被整數(shù)q整除,則稱這個數(shù)為“p階q級數(shù)”,例如:712是“5階7級數(shù)”,因為=101;712也是“12階10級數(shù)”,因為=70.
(1)若415是“5階k級數(shù)”,且k<300,求k的最大值;
(2)若一個四位數(shù)M的百位數(shù)字比個位數(shù)字大2,十位數(shù)字為1,且M既是“4階13級數(shù)”又是“6階5級數(shù)”,求這個四位數(shù)M.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,作∠BAD的平分線交BC于點E,∠ABC的平分線交AD于點F,連接EF.若AE=16,AF=10,則BF的長為( ).
A.10B.12C.14D.16
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