Question

如圖：在△ABC中，∠ACB=2∠ABC；△ABC內(nèi)部有一點P滿足PA=AC，CP=PB．
（1）試求∠ABP；
（2）研究∠BAP與∠PAC度數(shù)的比值．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使PA與AC重合得到△AB′C，連接PB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=B′C，∠ABP=∠AB′C，設(shè)∠ABP=x，∠PBC=y，然后表示出∠ACP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和周角等于360°表示出∠APB，然后求出∠PCB′，再根據(jù)等邊對等角求出∠PB′C，從而求出∠AB′P=∠AB′C，連接BB′，根據(jù)等邊對等角和等角對等邊求出PB=PB′，然后得到△PB′C是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線可得A、P都在BB′的垂直平分線上，然后求出∠BAP=∠B′AP，從而得到∠BAP=∠B′AP=∠B′AC，然后求解即可．

解答：（1）解：如圖，把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使PA與AC重合得到△AB′C，連接PB′，
則PB=B′C，∠ABP=∠AB′C，
設(shè)∠ABP=x，∠PBC=y，
∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠ACB=2x+2y，
∵CP=PB，
∴∠PCB=∠PBC=y，
∵PA=AC，
∴∠APC=∠ACP=∠ACB-∠PCB=2x+2y-y=2x+y，
∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=360°-（2x+y）-（180°-2y）=180°-2x+y，
∴∠PCB′=∠ACB′-∠ACP=（180°-2x+y）-（2x+y）=180°-4x，
∵PB=B′C，PB=PC，
∴PC=B′C，
∴∠PB′C=

1

2

（180°-∠PCB′）=

1

2

×180°-

1

2

（180°-4x）=2x，
∴∠AB′P=∠AB′C=x，
連接BB′，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴PB=PB′，
∴△PB′C是等邊三角形，
∴∠AB′C=

1

2

×60°=30°，
∴∠ABP=30°；

（2）解：∵PB=PB′，AB=AB′，
∴A、P都在BB′的垂直平分線上，
∴∠BAP=∠B′AP，
∴∠BAP=∠B′AP=∠B′AC，
∴∠PAC=∠B′AP+∠B′AC=2∠BAP，
∴∠BAP與∠PAC度數(shù)的比值是1：2．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)后的三角形得到等邊三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于根據(jù)角度的轉(zhuǎn)換求出以及等角對等邊求出PB=PB′．