Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（-1，0），B（n，0），交y軸于點(diǎn)C（0，p），已知p=-3a（n-2）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； 
（2）若拋物線上存在點(diǎn)M，且△ABM為直角三角形，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合p=-3a（n-2）來求系數(shù)的值；
（2）由（1）可以求得該拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．由拋物線的形狀可知，如果△ABM為直角三角形，那么直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M．過M點(diǎn)作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²=AN•BN，由此列出方程a²（x²-2x-3）²=（x+1）（x-3），通過該方程的根的判別式大于零列出關(guān)于a的不等式，通過解不等式求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（-1，0），B（n，0），交y軸于點(diǎn)C（0，p），p=-3a（n-2）．
∴

a-b+c=0 an2+nb+c=0 c=p p=-3a(n-2)

，
消元，得
-2n²a+4na+6a=0，即-2a（n-3）（n+1）=0．
∵a≠0，
∴n=3或n=-1（不合題意，舍去）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．

（2）∵由（1）知，A（-1，0），B（3，0）．
∴該拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
由拋物線的形狀可知，如果△ABM為直角三角形，那么直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M，且點(diǎn)M在x軸下方．
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，過M點(diǎn)作MN⊥AB于N，如圖．
在△AMN與△MBN中，
∵∠ANM=∠MNB=90°，∠AMN=∠MBN=90°-∠BMN，
∴△AMN∽△MBN，
∴

AN

MN

=

MN

BN

，
∴MN²=AN•BN、
∵即a²（x²-2x-3）²=（x+1）（3-x），
整理得x²-2x-3+

1

a2

=0，
∴△=4-4×（3-

1

a2

）＞0，
解得

1

2

＜a＜

1

2

，
∵a＞0，
∴0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度適中．