Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF；

（3）若CD=1，EF=，求AF長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；

（2）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF；

（3）先證得△EHF∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得BF=10，進而根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得OE=5，進一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．

證明：（1）如圖1，連接OE．

∵BE⊥EF，

∴∠BEF=90°，

∴BF是圓O的直徑．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE//BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連結(jié)DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE與△HFE中，，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF．

（3）解：由（2）得CD=HF，又CD=1，

∴HF=1，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠EHF=∠BEF=90°，

∵∠EFH=∠BFE，

∴△EHF∽△BEF，

∴，即，

∴BF=10，

∴OE=BF=5，OH=5-1=4，

∴Rt△OHE中，cos∠EOA=，

∴Rt△EOA中，cos∠EOA=，

∴，

∴OA=，

∴AF=．