Question

如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O，∠ADE=15°，過(guò)D作DG⊥ED于D，且AG=AD，過(guò)G作GF∥AC交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（1）若ED=4

6

，求AG；
（2）求證：2DF+ED=BD．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）利用已知條件可先求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)，又因?yàn)锳G=AD，所以可求出AD的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)GF，過(guò)C作CM∥AG，交GF的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接DM，可證明四邊形ACMG是平行四邊形、△DCM是等邊三角形，利用平行四邊形的小性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可證明2DF+ED=BD．

解答：解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，
∵∠ADE=15°，
∴∠EDO=30°
∵DE=4

6

，∠EOD=90°，
∴OD=6

2

，
在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；
（2）延長(zhǎng)GF，過(guò)C作CM∥AG，交GF的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接DM．
∵AC∥GF，即AC∥GM，
∴四邊形ACMG是平行四邊形，
∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，
∵∠ADE=15°
∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，
∴∠DCM=60°，
∴△DCM是等邊三角形，
∴DM=AD，
∵∠DMF=∠ADE=15°
∴△AED≌△DFM，
∴FM=ED，AE=DF
又∵AC=GM，
即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，
∴∠DGF=30°，
∴GF=2DF，
∴BD=2DF+ED．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，特別是第二問(wèn)題目的綜合性很強(qiáng)難度不�。�