Question

如圖△ABD和△ACE是△ABC外兩個(gè)等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．
（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）探索DC與BE的夾角的大小；
（3）求證：FA平分∠DFE；
（4）取BC的中點(diǎn)M，連MA，探討MA與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由條件可證明△ADC≌△ABE，可得到CD=BE；
（2）設(shè)BE和AC交于點(diǎn)R，可知∠AEB=∠ACD，結(jié)合對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和定理，可得到∠EFC=90°；
（3）分別過(guò)A作AS⊥DC，AG⊥BE，由（1）全等可證得AS=AG，根據(jù)角平分線的判定可得到FA平分∠DFE；
（4）過(guò)B作BN∥AC，使得BN=AC，可得四邊形ABNC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BN=AC=AE，∠BAC+∠ABN=180°，再根據(jù)∠BAC+∠DAE=180°即可求得∠DAE=∠ABN，即可證明△DAE≌△ABN，可得∠BAN=∠ADH，再根據(jù)∠DAH+∠BAN=90°，即可求得∠AHD=90°，且DE=AN=2AM．

解答：解：（1）∵△ABD和△ACE為等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△ABE中，

AD=AB ∠DAC=∠EAB AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）設(shè)BE交AC于點(diǎn)R，如圖1，

由（1）可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠FRC，
∴∠AER+∠ARE=∠FCR+∠FRC，
∴∠EFC=∠EAR=90°，
即DC和BE的夾角為90°；
（3）證明：如圖2，分別過(guò)A作AS⊥DC，AG⊥BE，

由（1）可知∠ADS=∠ABG，
在△ADS和△ABG中，

∠ADS=∠ABG ∠ASD=∠AGB AD=AB

，
∴△ADS≌△ABG（AAS），
∴AS=AG，
∴FA平分∠DFE；
（4）過(guò)B作BN∥AC，使得BN=AC，則四邊形ABNC為平行四邊形，延長(zhǎng)MA交DE于H，

則BN=AC，
∵AC=AE，
∴BN=AE，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠ABN=180°，
∴∠DAE=∠ABN，
在△DAE和△ABN中，

AD=AB ∠DAE=∠ABN AE=BN

，
∴△DAE≌△ABN（SAS），
∴∠BAN=∠ADH，AN=DE，
∴DE=2AM，
∵∠DAH+∠BAN=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，即AM⊥DE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)稱角相等是解題的關(guān)鍵．