Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE=1cm．點M從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動，點N從點E出發(fā)，與點M同時同方向以相同的速度運動，以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點M到達點D時停止運動，點N到達點C時停止運動．設運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，點G剛好落在線段AD上？
（2）設正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S，當重疊部分的圖形是正方形時，求出S關于t的函數(shù)關系式并寫出自變量t的取值范圍．
（3）設正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點P，連接DP，當t為何值時，△CPD是等腰三角形？

Answer 1

考點：相似形綜合題,勾股定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）求出ED的距離即可求出相對應的時間t；
（2）先求出t的取值范圍，分為H在AB上時，此時BM的距離，進而求出相應的時間．同樣當G在AC上時，求出MN的長度，繼而算出EN的長度即可求出時間，再通過正方形的面積公式求出正方形的面積；
（3）分兩種情況，分別是DP=PC時和DC=PC時，分別EN的長度便可求出t的值．

解答：解：由∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
易知：AB=8cm，BD=4cm，AC=8

3

cm，DC=12cm，AD=4

3

cm．
（1）∵當G剛好落在線段AD上時，ED=BD-BE=3cm
∴t=

3

1

s=3s．

（2）∵當MH沒有到達AD時，此時正方形MNGH是邊長為1的正方形，令H點在AB上，則
∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=

3

3

cm
∴t=

3

3

s
當MH到達AD時，那么此時的正方形MNGH的邊長隨著N點的繼續(xù)運動而增大，令G點在AC上，
設MN=xcm，則GH=DH=x，AH=

3

3

x，
∵AD=AH+DH=

3

3

x+x=4

3

，
∴x=6

3

-3．
當

3

3

≤t≤4時，S_MNGH=1cm²
當4＜t≤6

3

-3時，S_MNGH=（t-3）²cm²
故S關于t的函數(shù)關系式為：
S=

1( 3 3 ≤t≤4) (t-3)2(4＜t≤6 3 -3)

．

（3）分兩種情況：
①∵當DP=PC時，易知此時N點為DC的中點，
∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm
∴t=9s
故當t=9s的時候，△CPD為等腰三角形；
②當DC=PC時，DC=PC=12cm
∴NC=6

3

cm
∴EN=16cm-1cm-6

3

cm=（15-6

3

）cm
∴t=（15-6

3

）s
故當t=（15-6

3

）s時，△CPD為等腰三角形．
綜上所述，當t=9s或t=（15-6

3

）s時，△CPD為等腰三角形．

點評：本題充分考查了學生對相似三角形和勾股定理的理解和運用，此題涉及到的知識點較多，有勾股定理．正方形的性質，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，利用學生系統(tǒng)的掌握知識，是一道好題．