Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M（

2

，

2

），以點M為圓心，OM長為半徑作⊙M． 使⊙M與直線OM的另一交點為點B，與x軸、y軸的另一交點分別為點D、A（如圖），連接AM．點P是

AB

上的動點．
（1）∠AOB的度數(shù)為

 

．
（2）Q是射線OP上的點，過點Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點E．
①當(dāng)QE與⊙M相切時，求點E的坐標(biāo)；
②在①的條件下，在點P運動的整個過程中，求△ODQ面積的最大值及點Q經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過點M作MN⊥OA，交y軸于點N，則可知MN=ON=

2

，可知∠AOB的度數(shù)；
（2）①由切線的性質(zhì)可知OB⊥BE，且∠BOE=45°，OB=2

2

，在Rt△OBE中由勾股定理可求得OE，可求得E點坐標(biāo)；
②在①的條件下，設(shè)QC與y軸交于點R，則當(dāng)P由B運動到A的過程中，則Q從B運動到點R，容易求得BR即Q點經(jīng)過的路徑長，當(dāng)Q到達(dá)R點時△ODQ的面積最大，可求得其最大值．

解答：解：（1）如圖，過點M作MN⊥OA，交y軸于點N，

∵點M（

2

，

2

），
∴MN=ON=

2

，
∴∠AOB=45°，
故答案為：45°；
（2）①當(dāng)QE與⊙M相切時，由QC⊥OB，可知點B為切點，如圖2，

∵OM=2，
∴OB=4，且∠BOE=45°，
在Rt△BOE中，OB=BE=4，由勾股定理可求得OE=4

2

，
∴E點坐標(biāo)為（4

2

，0）；
②設(shè)切線QC交y軸于點R，如圖3，

由①可知△OBR為等腰直角三角形，且OB=4，
∴BR=4，
當(dāng)點P從點B運動到點A時，則Q點從B運動到R，
∴點Q的運動路徑為線段BR，
∴點Q經(jīng)過的路徑長為4，
∵△ODQ的邊OD不變，
∴當(dāng)Q點到OD的距離最大時，△ODQ的面積最大，
∴當(dāng)點Q在R點時，△ODQ面積最大，
此時，在Rt△OBR中，可求得OR=4

2

，
連接BD，則△OBD為等腰直角三角形，且OB=4，可求得OD=2

2

，
∴△ODQ面積最大值=

1

2

OD•OR=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定等知識的綜合應(yīng)用，在（1）中注意M點的坐標(biāo)的應(yīng)用，在第（2）①中利用切線的性質(zhì)及勾股定理求得OE的長是解題的關(guān)鍵，在（2）②中確定出點Q的運動路線是解題的關(guān)鍵，并注意判斷點Q點在何位置時△ODQ的面積最大．