Question

如圖1，拋物線y=ax²-3ax+b與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)，A點的坐標為（-1，0），OB=2OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ABPC面積最大時點P的坐標；
（3）如圖2，過點D（1，-1）作DE⊥x軸于點E，作MN平行且等于AD，點M、N在拋物線上，M點在N點左邊，求點M、N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先求出拋物線對稱軸，再根據(jù)拋物線的對稱性求出點B的坐標，從而求出點C坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)△ABC的面積不變判斷出△PBC的面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過點P作PD∥y軸與BC相交于點D，表示出PD，再根據(jù)S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點P的坐標；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式設出點M的坐標，再根據(jù)AD平移得到MN表示出點N的坐標，然后把點N的坐標代入拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-

-3a

2•a

=

3

2

，
∵點A的坐標為（-1，0），
∴點B的坐標為（4，0），
∵OB=2OC，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，
∴點C的坐標為（0，2），
將點A、C的坐標代入拋物線y=ax²-3ax+b得，

a+3a+b=0 b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

．
所以，拋物線解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵△ABC的面積不變，
∴△PBC的面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4k+b=0 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
所以，直線BC的解析式為y=-

1

2

x+2，
過點P作PD∥y軸與BC相交于點D，
則PD=-

1

2

x²+

3

2

x+2-（-

1

2

x+2）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x²-4x+4）+2=-

1

2

（x-2）²+2，
S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD，
=

1

2

×[-

1

2

（x-2）²+2]×4，
=-（x-2）²+4，
所以，當x=2時，△PBC的面積最大，四邊形ABPC的面積最大，
此時，y=-

1

2

×2²+

3

2

×2+2=-2+3+2=3，
點P的坐標為（2，3）；

（3）設點M的坐標為（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），
∵MN∥AD，A（-1，0），D（1，-1），
∴點N的坐標為（m+2，-

1

2

m²+

3

2

m+2-1），
將點N的坐標代入拋物線得，-

1

2

（m+2）²+

3

2

（m+2）+2=-

1

2

m²+

3

2

m+2-1，
解得m=1，
所以，-

1

2

×1²+

3

2

×1+2=3，
點M的坐標為（1，3），
所以，點N的坐標為（3，2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，平移的性質(zhì)，難點在于（2）判斷出△PBC的面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，（3）根據(jù)點A、D的坐標的關系判斷出點M、N的坐標的關系．