【題目】將一個(gè)直角三角形紙片ABO,放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)O(0,0).點(diǎn)M為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)O、A重合),沿著B(niǎo)M折疊該紙片,得頂點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′.
(I)如圖①,當(dāng)點(diǎn)O′在邊AB上時(shí),求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(II)設(shè)直線BO′與x軸相交于點(diǎn)F.
①如圖②,當(dāng)BA平分∠MBF時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);
②當(dāng)OM=時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)
【答案】(Ⅰ)O'(,2﹣);(Ⅱ)①F(2,0);②F(,0)
【解析】
(I) 過(guò)點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于H,由折疊可知,BO'=BO=2,∠BO'H=∠BAO=45°,利用特殊角的三角函數(shù)值求出BH、O'H,從而得到O'的坐標(biāo);
(II) ①由BA平分∠MBF時(shí),得到∠OBF=60,利用特殊角的三角函數(shù)值求出OF,即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo);②先說(shuō)明△FO'M∽△FOB,從而=,設(shè)F(a,0),利用勾股定理,用含a式子表示O'F,代入=,求出a,從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo).
解:(I)如圖①,過(guò)點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于H,
由折疊知,△BMO≌△BMO',
∴BO'=BO=2,
∵O'H∥OA,
∴∠BO'H=∠BAO=45°,
在Rt△BO'H中,O'H=BO'cos∠BO'H=,
∴BH=O'H=,
∴OH=OB﹣BH=2﹣,
∴O'(,2﹣);
(II)①∵BA平分∠MBF,
∴∠ABO=3∠MBA=45°,
∴∠ABF=∠MBA=15°,
∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°,
在Rt△BOF中,OF=OBtan60=2,
∴F(2,0);
②由折疊知,O'M=OM=,O'B=OB=2,∠MO'F=90°=∠FOB,
∵∠FO'M=∠FOB,
∴△FO'M∽△FOB,
∴=,
設(shè)F(a,0)(a>0),
∴OF=a,
在Rt△BOF中,BF=,
∴O'F=﹣2,
∴,
∴a=0(舍)或a=,
F(,0).
故答案為:(I)O'(,2﹣);(II)①F(2,0);②F(,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩地高速鐵路建設(shè)成功.試運(yùn)行期間,一列動(dòng)車(chē)從甲地開(kāi)往乙地,一列普通列車(chē)從乙地開(kāi)往甲地,兩車(chē)同時(shí)出發(fā).設(shè)普通列車(chē)行駛的時(shí)間為x(小時(shí)),兩車(chē)之間的距離為y(千米),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象分析出以下信息:①甲乙兩地相距1000千米;②動(dòng)車(chē)從甲地到乙地共需要4個(gè)小時(shí);③表示的實(shí)際意義是動(dòng)車(chē)的速度;④普通列車(chē)的速度是千米/小時(shí);⑤動(dòng)車(chē)到達(dá)乙地停留2小時(shí)后返回甲地,在普通列車(chē)出發(fā)后7.5小時(shí)和動(dòng)車(chē)再次相遇.以上信息正確的是( )
A.①②④B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(﹣3,0) B.(﹣6,0) C.(,0) D.(,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=13,AC=5,BC邊上的中線AD=6,點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且ED=AD.
(1)求證:BE∥AC;
(2)求∠CAD的大。
(3)求點(diǎn)A到BC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究
[問(wèn)題]如圖1,在中,,過(guò)點(diǎn)作直線平行于,點(diǎn)在直線上移動(dòng),角的一邊DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn),另一邊與交于點(diǎn),研究和的數(shù)量關(guān)系.
[探究發(fā)現(xiàn)]
(1)如圖2,某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),很容易就可以得到請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;
[數(shù)學(xué)思考]
(2)如圖3,若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),受(1)的啟發(fā),另一個(gè)學(xué)習(xí)小組過(guò)點(diǎn),交于點(diǎn),就可以證明,請(qǐng)完成證明過(guò)程;
[拓展引申]
(3)若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),在圖(4)中補(bǔ)充完整圖形,并判斷結(jié)論是否仍然成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D在△ABC邊延長(zhǎng)線上,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線EF∥BC,交∠BCA的平分線于點(diǎn)F,交∠BCA的外角平分線于E.當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上移動(dòng)(不與點(diǎn)A,C重合)時(shí),下列結(jié)論不一定成立的是( 。
A. 2∠ACE=∠BAC+∠B B. EF=2OC C. ∠FCE=90° D. 四邊形AFCE是矩形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料,回答問(wèn)題:
兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.例如:因?yàn)?/span>,,所與,與互為有理化因式.
(1)的有理化因式是 ;
(2)這樣,化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí),采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了,例如:
,
用上述方法對(duì)進(jìn)行分母有理化.
(3)利用所需知識(shí)判斷:若,,則的關(guān)系是 .
(4)直接寫(xiě)結(jié)果: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是a厘米、b厘米,如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各減少2厘米.
(1)新長(zhǎng)方形的面積比原長(zhǎng)方形的面積減少了多少平方厘米?
(2)如果減少的面積恰好等于原面積的,試確定(a﹣6)(b﹣6)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD為∠CAB的角平分線,若CD=3,則DB=____.
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