Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從A向C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從B向A方向運(yùn)動，Q到達(dá)A點(diǎn)后，P點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒．

（1）求P點(diǎn)停止運(yùn)動時，BP的長；

（2）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，點(diǎn)E是Q點(diǎn)關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，是否存在時間t，使四邊形PQCE為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，求使△APQ與△ABC相似的時間t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，t＝s時，四邊形PQCE是菱形；（3）t的值為s或s時△APQ與△ABC相似

【解析】

（1）求出點(diǎn)Q的從B到A的運(yùn)動時間，再求出AP的長，利用勾股定理即可解決問題．

（2）如圖1中，當(dāng)四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根據(jù)DQ＝CK，構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)∠APQ＝90°時，如圖3﹣2中，當(dāng)∠AQP＝90°時，分別構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10，

點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時，t＝＝5，

∴AP＝5，PC＝1，

在Rt△PBC中，PB＝＝．

（2）如圖1中，當(dāng)四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四邊形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK＝KC，

∵∠QKC＝∠QDC＝∠DCK＝90°，

∴四邊形QDCK是矩形，

∴DQ＝CK，

∴2t＝（6﹣t），

解得t＝．

∴t＝s時，四邊形PQCE是菱形．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)∠APQ＝90°時，

∵∠APQ＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴t＝．

如圖3﹣2中，當(dāng)∠AQP＝90°時，

∵△AQP∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴t＝，

綜上所述，t的值為s或s時△APQ與△ABC相似．