Question

（2012•張家口一模）已知：如圖1，⊙O與射線MN相切于點(diǎn)M，⊙O的半徑為2，AC是⊙O的直徑，A與M重合，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且∠C=30°，
計(jì)算：弦AB=

2

，

AB

的長(zhǎng)度

2

3

π

（結(jié)果保留π）
探究一：如圖2，若⊙O和△ABC沿射線MN方向作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，
（1）直接寫(xiě)出：點(diǎn)B第一次在射線MN上時(shí)，圓心O所走過(guò)的路線的長(zhǎng)

2

3

π

點(diǎn)B第二次在射線MN上時(shí)，圓心O所走過(guò)的路線的長(zhǎng)

14

3

π

（結(jié)果保留π）
（2）過(guò)點(diǎn)A、C分別作AD⊥MN于D，CE⊥MN于E，連接OD、OE，小明通過(guò)作圖猜想：OD與OE相等，你認(rèn)為小明的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由
探究二：
如圖3，將半徑為R、圓心角為50°的扇形紙片AOB，在射線MN的方向作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A′O′B′處，則頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)為

23

18

πR

（用含R的代數(shù)式表示，結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：計(jì)算：利用圓周角定理以及等邊三角形的判定得出AB的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式得出

AB

的長(zhǎng)度；
探究一：（1）利用弧長(zhǎng)公式分別求出O點(diǎn)所走過(guò)的路線即可；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出OD與OE即可；
探究二：仔細(xì)觀察頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線可得，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線可以分為三段，分別求出三段的長(zhǎng)，再求出其和即可．

解答：解：計(jì)算：如圖1：連接OB，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
又BO=OA，
∴△AOB是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為2，
∴AB=AO=OB=2，

AB

的長(zhǎng)度為：

60π×2

180

=

2

3

π，
故答案為：2，

2

3

π；

探究一：（1）點(diǎn)B第一次在射線MN上時(shí)，圓心O所走過(guò)的路線的長(zhǎng)為

AB

的長(zhǎng)度為：

60π×2

180

=

2

3

π，
點(diǎn)B第二次在射線MN上時(shí)，圓心O所走過(guò)的路線的長(zhǎng)為：

2

3

π+2π×2=

14

3

π；
故答案為：

2

3

π，

14

3

π；

（2）作圖如圖2所示：
OD=OE，
證明：連接OB，
∵M(jìn)N與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥MN，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，AB=

1

2

AC=2，BC=2

3

，
∵AO=BO，
∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=60°∴∠ABD=30°
在Rt△ADB中，BD=AB•cos30°=

3

顯然∠CBE=60°，
在Rt△BEC中，BE=BC•cos60°=

3

，
∴BD=BE，
∴OD=OE；

探究二：
如圖3所示：

頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線可以分為三段，當(dāng)弧AB切直線l于點(diǎn)B時(shí)，有OB⊥直線l，此時(shí)O點(diǎn)繞不動(dòng)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)了90°，滾動(dòng)距離為

90πR

180

；
第二段：OB⊥直線l到OA⊥直線l，O點(diǎn)繞動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，而這一過(guò)程中弧AB始終是切于直線l的，所以O(shè)與轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)P的連線始終⊥直線l，所以O(shè)點(diǎn)在水平運(yùn)動(dòng)，此時(shí)O點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=BA′=AB的弧長(zhǎng)=

50π

180

R，
第三段：OA⊥直線l到O點(diǎn)落在直線l上，O點(diǎn)繞不動(dòng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)過(guò)了90°，滾動(dòng)距離為

90πR

180

；
所以，O點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)S=

π

2

R+

5

18

πR+

π

2

R=

23

18

πR．
故答案為：

23

18

πR．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用以及圓周角定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，本題關(guān)鍵是理解頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線可得，則頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)為三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)．