【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動,同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動,到達A點時停止運動.點P也同時停止.點P,Q運動速度均為每秒1個單位長度,連接PQ,設運動時間為t(t>0)秒.
(1)當點Q從B點向A點運動時(未到達A點),
①當t=_____時PQ∥BC
②求△APQ的面積S關于t的函數關系式,并寫出t的取值范圍;
(2)伴隨著P,Q兩點的運動,線段PQ的垂直平分線為l:
①當l經過點A時,射線QP交AD于點E,求此時的t的值和AE的長;
②當l經過點B時,求t的值.
【答案】(1)①秒;②S△APQ=﹣+t(0<t≤6);(2)①t=3,AE=6;②t=5.
【解析】
(1)①因為PQ∥BC,利用平行線分線段成比例,可得,找到關于t的方程,求解即可;②過P作PE⊥AB于E,利用∠BAC的正弦,可以求出PE的長,最后找到S與t的函數關系式;
(2)①因為l為PQ的垂直平分線且過點A,所以AP=AQ,由此可以求出t的值,延長QP交CD于M,容易得到△APQ和△CPM相似,找到相似比可求出AE的長;②當l經過B時,可得BQ=BP=AP,過P作PG⊥AB于G,利用三線合一可得AG=BG,利用PG∥BC,可轉化出P也為AC的中點,進而可求出AP的值,最后可找到t的值.
解:(1)①由題意得:BQ=AP=t,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵AB=6,BC=8,
∴AC=10,AQ=6﹣t,
∵PQ∥BC,
∴,
∴,
t=,
則當t=秒時,PQ∥BC,
故答案為:秒;
②如圖1,過P作PE⊥AB于E,
sin∠BAC=,
∴,PE=t,
∴S△APQ=AQPE=(6﹣t) t=﹣+t(0<t≤6);
(2)①如圖2,延長CD交QP于M,
∵線段PQ的垂直平分線為l經過點A,
∴AQ=AP,即6﹣t=t,
∴t=3,
∴AQ=AP=3,CP=10﹣3=7,
∵AQ∥CD,
∴△AQP∽△CMP,
∴,
∴ ,CM=7,
∴DM=7﹣6=1,
∵AQ∥DM,
∴△AQE∽△DME,
∴=,
∵AE+DE=8,
∴AE=6;
②如圖3,連接PB,過P作PG⊥AB于G,則PG∥BC,
∵線段PQ的垂直平分線l經過點B,
∴PB=BQ=t=AP,
∴AG=BG,
∴AP=PC=AC=5,
∴t=5.
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【題目】如圖,有一個可以自由轉動的轉盤被平均分成4個扇形,分別標有1、2、3、4四個數字,小王和小李各轉動一次轉盤為一次游戲.當每次轉盤停止后,指針所指扇形內的數為各自所得的數,一次游戲結束得到一組數(若指針指在分界線時重轉).(1)請你用樹狀圖或列表的方法表示出每次游戲可能出現的所有結果;(2)求每次游戲結束得到的一組數恰好是方程x2﹣4x+3=0的解的概率.
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【題目】某同學在利用描點法畫二次函數y=ax2+bx+c(a=0)的圖象時,先取自變量x的一些值,計算出相應的函數值y,如下表所示:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | ﹣3 | 0 | ﹣1 | 0 | ﹣3 | … |
接著,他在描點時發(fā)現,表格中有一組數據計算錯誤,他計算錯誤的一組數據是( 。
A. B. C. D.
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【題目】在工程實施過程中,某工程隊接受一項開挖水渠的工程,所需天數y(天)與每天完成工程量x米的函數關系圖象如圖所示,是雙曲線的一部分.
(1)請根據題意,求y與x之間的函數表達式;
(2)若該工程隊有2臺挖掘機,每臺挖掘機每天能夠開挖水渠30米,問該工程隊需要用多少天才能完成此項任務?
(3)如果為了防汛工作的緊急需要,必須在10天內完成任務,那么每天至少要完成多少米?
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【題目】在一個不透明的口袋里裝有四個分別標有1、2、3、4的小球,它們的形狀、大小等完全相同.小明先從口袋里隨機不放回地取出一個小球,記下數字為x;小紅在剩下有三個小球中隨機取出一個小球,記下數字y.
(1)計算由x、y確定的點(x,y)在函數y=﹣x+6圖象上的概率;
(2)小明、小紅約定做一個游戲,其規(guī)則是:若x、y滿足xy>6,則小明勝;若x、y滿足xy<6,則小紅勝.這個游戲規(guī)則公平嗎?說明理由;若不公平,怎樣修改游戲規(guī)則才對雙方公平?
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【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點O,點E是OA的中點,連接BE并延長交AD于點F,已知S△AEF=4,則下列結論:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正確的是( 。
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點O,點E是OA的中點,連接BE并延長交AD于點F,已知S△AEF=4,則下列結論:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正確的是( 。
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【題目】已知銳角△ABC中,邊BC長為12,高AD長為8
(1)如圖,矩形EFGH的邊GH在BC邊上,其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上,EF交AD于點K
①求的值
②設EH=x,矩形EFGH的面積為S,求S與x的函數關系式,并求S的最大值
(2)若ABAC,正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上,另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上,直接寫出正方形PQMN的邊長.
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