Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，OA＜OB，且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，點(diǎn)Q第一象限內(nèi)的點(diǎn)．若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)

直

•

接

•

寫出Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的長度，即求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分P在B點(diǎn)的上邊和在B的下邊兩種情況進(jìn)行討論，求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x=3，x=4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）． 
∵設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0）
∴

0=3k+b 4=b

∴

k=- 4 3 b=4

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+4．

（2）當(dāng)P在B的下邊時(shí)，AB是菱形的對(duì)角線，AB的中點(diǎn)D坐標(biāo)是（

3

2

，2），
設(shè)過D點(diǎn)，與直線AB垂直的直線的解析式是y=

3

4

x+m，則

9

8

+m=2，
解得：m=

7

8

，
則P的坐標(biāo)是（0，

7

8

）．
設(shè)Q的坐標(biāo)是（x，y），則

x

2

=

3

2

，

7 8 +y

2

=2，
解得：x=3，y=

25

8

，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是：（3，

25

8

）．
當(dāng)P在B點(diǎn)的上方時(shí)，AB=

32+42

=5，
AQ=5，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，5）．
總之，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，5）或（3，

25

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及菱形的性質(zhì)，正確對(duì)P的位置進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．