Question

將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷

PM

CN

的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出

PM

CN

的值；反之，請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=

1

2

AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

PM

CN

=

PD

CD

為定值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，

∠PDM=∠CDN ∠CPD=∠BCD

，
∴△DPM∽△DCN，
∴

PM

CN

=

PD

CD

，
∵

PD

CD

=tan∠ACD=tan30°=

3

3

，
∴

PM

CN

的值不隨著α的變化而變化，是定值

3

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．