Question

給定直線(xiàn)l：y=kx，拋物線(xiàn)C：y=ax²+bx+1．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求a的值；
（2）若把直線(xiàn)l向上平移k²+1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線(xiàn)l′，則無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)．
①求此拋物線(xiàn)的解析式；
②若P是此拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥y軸且與直線(xiàn)y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即橫縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很適用于韋達(dá)定理．由其中有涉及頂點(diǎn)，考慮頂點(diǎn)式易得a值．
（2）①直線(xiàn)l：y=kx向上平移k²+1，得直線(xiàn)l′：y=kx+k²+1．根據(jù)無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C：y=ax²+bx+1都只有一個(gè)交點(diǎn)，得ax²+（b-k）x-k²=0中△=（b-k）²+4ak²=0．這雖然是個(gè)方程，但無(wú)法求解．這里可以考慮一個(gè)數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡(jiǎn)單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗(yàn)，進(jìn)而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能滿(mǎn)足k=1，2時(shí)，并不滿(mǎn)足任意實(shí)數(shù)k，所以可以再代回△=（b-k）²+4ak²中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去．
②求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫(huà)出大致的示意圖．發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再進(jìn)行比較．這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-

1

4

x²+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²+1），進(jìn)而易求OP，PQ．

解答：（1）解：∵l：y=kx，C：y=ax²+bx+1，當(dāng)b=1時(shí)有A，B兩交點(diǎn)，
∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足kx=ax²+x+1，即ax²+（1-k）x+1=0．
∵B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴0=x_A+x_B=

k-1

a

，
∴k=1．
∵y=ax²+x+1=a（x+

1

2a

）²+1-

1

4a

，
∴頂點(diǎn)（-

1

2a

，1-

1

4a

）在y=x上，
∴-

1

2a

=1-

1

4a

，
解得 a=-

1

4

．

（2）①解：∵無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴k=1時(shí)，k=2時(shí)，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)k=1時(shí)，l′：y=x+2，
∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b-1）x-1=0，
∵△=（b-1）²+4a=0，
∴（b-1）²+4a=0，
當(dāng)k=2時(shí)，l′：y=2x+5，
∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b-2）x-4=0，
∵△=（b-2）²+16a=0，
∴（b-2）²+16a=0，
∴聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組

(b-1)2+4a=0 (b-2)2+16a=0

，
解得

a=- 1 4 b=0

或

a=- 1 36 b= 4 3

．
∵l′：y=kx+k²+1代入C：y=ax²+bx+1，得ax²+（b-k）x-k²=0，
∴△=

(b-k)2+4ak2

．
當(dāng)

a=- 1 4 b=0

時(shí)，△=（-k）²+4×（-

1

4

）k²=k²-k²=0，故無(wú)論k取何值，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)

a=- 1 36 b= 4 3

時(shí)，△=（

4

3

-k）²+4×（-

1

36

）k²=

8

9

k²-

8

3

k+

16

9

，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．
∴C：y=-

1

4

x²+1．

②證明：根據(jù)題意，畫(huà)出圖象如圖1，

由P在拋物線(xiàn)y=-

1

4

x²+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²+1），連接OP，過(guò)P作PQ⊥直線(xiàn)y=2于Q，作PD⊥x軸于D，
∵PD=|-

1

4

x²+1|，OD=|x|，
∴OP=

PD2+OD2

=

1 16 x4- 1 2 x2+1+x2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x2+1，
  PQ=2-y_P=2-（-

1

4

x²+1）=

1

4

x2+1，
∴OP=PQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及圖象，圖象平移解析式變化，韋達(dá)定理及勾股定理等知識(shí)，另涉及一些數(shù)學(xué)技巧，學(xué)生解答有一定難度，需要好好理解掌握．