Question

受今年春節(jié)的影響，在春節(jié)過(guò)后的2月份，食用油價(jià)格開(kāi)始回落，某食用油批發(fā)商批發(fā)甲種品牌的食用油，每桶在2月份前四周每周的平均銷(xiāo)售價(jià)格變化如下表：

周數(shù)x	1	2	3	4
價(jià)格y1（元/桶）	60	59	58	57

進(jìn)入3月份后，由于受生產(chǎn)食用油的原材料成本上漲等因素的影響，食用油的價(jià)格開(kāi)始回升，該品牌食用油銷(xiāo)售價(jià)格y₂（元/桶）從3月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且銷(xiāo)售價(jià)格y₂（元/桶）與周數(shù)x（x為整數(shù)）的變化情況滿足二次函數(shù)：y2=-

1

4

x2+bx+c．
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫(xiě)出2月份y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出3月份y₂與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若2月份該品牌的食用油進(jìn)價(jià)m₁（元/桶）與周數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系為：m1=

1

3

x2-3x+50，
3月份該品牌的食用油進(jìn)價(jià)m₂（元/桶）與周數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系為：m2=

7

2

x+

81

2

，試問(wèn)在2月份和3月份中，哪月的哪一周銷(xiāo)售一桶該品牌的食用油利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，該批發(fā)商在3月份的第2周以該周的進(jìn)價(jià)購(gòu)入甲品牌食用油1200桶，準(zhǔn)備在3月份第3周進(jìn)行銷(xiāo)售．在第3周以該周的銷(xiāo)售價(jià)銷(xiāo)售了3a%后，為了加快銷(xiāo)售的進(jìn)度，該批發(fā)商決定在原銷(xiāo)售價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)a%進(jìn)行銷(xiāo)售，這樣順利的完成了第三周銷(xiāo)售1200桶的任務(wù)，且獲利12000元，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值（0＜a＜15）．
（參考數(shù)據(jù)：91²=8281，92²=8464，93²=8649，94²=8836）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得出y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；將點(diǎn)（1，54），（2，57）代入，可得出y₂與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別得出二月份、三月份的利潤(rùn)表達(dá)式，然后利用配方法求出最值，繼而比較可得出答案．
（3）根據(jù)題意，令x=2求出m₂，令x=3求出y₂，然后列出方程，解出a的值即可，注意考慮實(shí)際情況進(jìn)行取舍．

解答：解：（1）二月份：根據(jù)表格可得：y₁=-x+61；
三月份：
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=54；當(dāng)x=2時(shí)，y=57，
∴

b+c- 1 4 =54 2b+c-1=57

，
解得：

b= 15 4 c= 101 2

故y₂=-

1

4

x²+

15

4

x+

101

2

．
（2）設(shè)第x周的利潤(rùn)為w元，
二月份：w=y₁-m₁=（-x+61）-（

1

3

x²-3x+50）=-

1

3

x²+2x+11=-

1

3

（x-3）²+14，
∵-

1

3

＜0，
∴開(kāi)口向下，
又∵對(duì)稱軸是：直線x=3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，w_最大=14；
三月份：w=y₂-m₂=-

1

4

x²+

15

4

x+

101

2

-（

7

2

x+

81

2

）=-

1

4

x²+

1

4

x=10=-

1

4

（x-

1

2

）²+

161

16

∵-

1

4

＜0，
∴開(kāi)口向下，
又∵對(duì)稱軸是：直線x=

1

2

，
∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=1時(shí)，w_最大=10，
∵14＞10，
∴二月份的第3周，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為14元/桶．
（3）在m2=

7

2

x+

81

2

中，令x=2，得：m2=

95

2

，
在y2=-

1

4

x2+

15

4

x+

101

2

中，令x=3，得：y2=

119

2

，
∴

119

2

×1200•3a%+

119

2

(1-a%)•1200•(1-3a%)-

95

2

×1200=12000，
令a%=m，則357m+119（1-m）（1-3m）=115，
整理得：357m²-119m+4=0，
△=8449≈92²，
m1≈

119+92

714

≈0.295，
則a₁≈30（不合題意，舍去），
m2≈

119-92

714

≈0.037，
則a₂≈4，
故a的整數(shù)值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，題目所給信息量比較大，注意仔細(xì)審題，得到解題需要的信息，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，難度較大．