Question

如圖，AB是半圓O上的直徑，E是的中點，OE交弦BC于點D，過點C作⊙O的切線交OE的延長線于點F，已知BC=8，DE=2．
（1）求⊙O的半徑；（2）求CF的長．

Answer 1

解：（1）設⊙O的半徑為x，
∵E點是的中點，O點是圓心，
∴OD⊥BC，DC==4，
在Rt△ODC中，OD=x-2，
∴OD²+DC²=OC²
∴（x-2）²+4²=x²
∴x=5，即⊙O的半徑為5；

（2）∵FC是⊙O的切線，
∴OC⊥CF
又∵E是的中點．
∴OD⊥BC，
∴OC²=OD•OF，即5²=3•OF
∴
在Rt△OCF中，OC²+CF²=OF²
∴
分析：（1）設⊙O的半徑為x，由E點是的中點，O點是圓心，根據(jù)垂徑定理的推論得到OD⊥BC，DC==4，然后在Rt△ODC中，根據(jù)勾股定理可計算出x．
（2）根據(jù)切線的性質得到OD⊥BC，再根據(jù)射影定理得到OC²=OD•OF，計算出OF，然后根據(jù)勾股定理可計算出CF的長．
點評：本題考查了垂徑定理的推論：過圓心平分弧的直徑垂直平分弦．也考查了切線的性質、勾股定理以及射影定理．