Question

矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF，設(shè)AE=x，△FCG的面積=y．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求x和y的值；
（2）如圖2，①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與自變量的取值范圍；
②連接AC，當(dāng)EF∥AC時(shí)，求x和y的值；
③當(dāng)△CFG是直角三角形時(shí)，求x和y的值．

Answer 1

分析：（1）作FM⊥CD于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到△AEH≌△DHG≌△MGF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得到結(jié)論．
（2）①因?yàn)椤鰽EH∽△DHG，相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可求出y與x的函數(shù)式．
②連接AC，因?yàn)椤鱀HG∽△DAC，而相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可求出y與x的函數(shù)式．
③由畫圖可知∠FGC和∠GCF都不能為直角，當(dāng)∠GFC=90°時(shí)，E、F、C三點(diǎn)在一條直線上，所以△AEH∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例可求出解．

解答：解：（1）作FM⊥CD于M，
∵△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2，
∴y=△FCG的面積=

1

2

×6×2=6；

（2）①∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，
即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

∴y=△FCG的面積=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∴1＜x≤8；
②∵△DHG∽△DAC，
∴

DH

DA

=

DG

DC

，
即

4

6

=

DG

8

，
∴DG=

16

3

．
∴GC=8-

16

3

=

8

3

，
∴y=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
∴x=

3

2

．
③當(dāng)∠GFC=90°時(shí)，E、F、C三點(diǎn)在一條直線上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
當(dāng)∠GCF=90°時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)正好落在邊BC上，
則△HAE∽△GDH，
則

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
對(duì)應(yīng)的y=4+2

2

或4-2

2

．
當(dāng)∠CGF=90°時(shí)，C，G，H共線，所以不可能；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)定理等知識(shí)點(diǎn)．