Question

如圖1，在等腰△ABC中，底邊BC＝8，高AD＝2，一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)停止；另一動(dòng)點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個(gè)單位的位置出發(fā)，以相同的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)DC中點(diǎn)停止；已知P、Q同時(shí)出發(fā)，以PQ為邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t的值為   ，當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，t的值為   ；
（2）設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，求出當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍；
（3）（本小題選做題，做對(duì)得5分，但全卷不超過150分）
如圖2，分別取AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接ED、FD，當(dāng)點(diǎn)P、Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G從BE中點(diǎn)出發(fā)，以每秒 個(gè)單位的速度沿折線BE－ED－DF向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G可能與PN邊的中點(diǎn)重合嗎？如果可能，請(qǐng)直接寫出t的值或取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）1   
（2）  
（3）可能．t＝0或t＝2或4≤t≤5

試題分析：本題屬于學(xué)科綜合題，代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解答此類綜合題關(guān)鍵是數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)化.（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，NP=1,NP∥AD,利用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例的性質(zhì)可算出t的值；當(dāng)N落在AC邊上時(shí),正方形的邊長(zhǎng)不再是1,Q點(diǎn)已經(jīng)停在D點(diǎn),PD=t-3,∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t ∵PN∥DA ∴ ∴ ∴t=．（2）畫出運(yùn)動(dòng)中的圖形，根據(jù)具體圖形利用未知數(shù)t的代數(shù)式表示并求其面積.（3）重點(diǎn)是準(zhǔn)確畫出圖形變化，PN中點(diǎn)與G何時(shí)重合.
試題解析： （1）解：∵NP∥AD    PN=1  AD="2" ∴ ∴PN是△ABD的中位線 ∴BP=2∴t=1
∵PD="t-3," ∴PN="t-3," PC=4-(t-3)=7-t 
∵PN∥DA ∴∴ ∴t=．
( 2 )當(dāng)  0＜t＜1，重疊部分為梯形，當(dāng)1＜t＜2時(shí),設(shè)EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.

（2）當(dāng)1＜t＜2時(shí), 設(shè)EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.
∵M(jìn)E＝2－t，MR＝ ME＝(2－t)∴S_△MRE ＝ ME·MR＝(2－t)²
∴S＝S_{正方形PQMN}－S_△MRE ＝1－(2－t)²＝－t²＋t 

當(dāng)＜t＜5時(shí)
設(shè)MN交AC于S，PN交AC于T，則重疊部分為五邊形PQMST
∵AM＝2－(t－3)＝5－t，MS＝2AM＝2(5－t) PC＝7－t，PT＝ PC＝(7－t)
∴S_△AMS ＝ AM·MS＝(5－t)²，S_△PTC ＝ PC·PT＝(7－t)²
又S_△ADC ＝ AD·CD＝×2×4＝4
∴S＝S_△ADC－S_△AMS －S_△PTC ＝4－(5－t)²－(7－t)²＝－t²＋t－
綜上所述，當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

（3）可能． t＝0或t＝2或4≤t≤5
當(dāng)t=0時(shí)，QP=1,GP=,G為BE中點(diǎn)，也為NP中點(diǎn)．

當(dāng)t=2時(shí)，G點(diǎn)所走路程為_×2=，到達(dá)DE中點(diǎn).正方形 PQEN運(yùn)動(dòng)到圖形位置，EQ=1，GP= NP為NP中點(diǎn).

當(dāng)4≤t≤5時(shí)，DP=t-3 設(shè)NP與DF相交與點(diǎn)R則PR=(t-3) 由勾股定理得DR= (t-3) 此時(shí)DG=t-= (t-3) 所以點(diǎn)R與點(diǎn)G重合.