Question

如圖，直線y=

4

3

x-4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交雙曲線y=

a

x

于點(diǎn)D．DC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，S_△OAB：S_△OCD=2：1．
（1）求a的值；
（2）DC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）先確定直線y=

4

3

x-4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），則可計(jì)算出S_△OAB=6，于是得到S_△OCD=3，然后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義即可得到a的值；
（2）直線y=

4

3

x-4與雙曲線y=

a

x

聯(lián)立得到D點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到DC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵把x=0代入y=

4

3

x-4，解得y=-4；
把y=0代入y=

4

3

x-4得

4

3

x-4=0，解得x=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴S_△OAB=

1

2

×3×4=6，
∵S_△OAB=2S_△OCD，
∴S_△OCD=3，
∴

1

2

|a|=3，
而a＞0，
∴a=6．

（2）直線y=

4

3

x-4與雙曲線y=

a

x

聯(lián)立可得

y= 4 3 x-4 y= 6 x

，
解得

x= 3-3 3 2 y=-2 3 -2

或

x= 3+3 3 2 y=2 3 -2

，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3+3 3

2

，2

3

-2），
則DC的長(zhǎng)是2

3

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義．