【題目】問題提出

1)如圖①,已知ABC,請畫出ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形

問題探究

2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在邊BC、CD上分別存在點G、H,使得四邊形EFGH的周長最?若存在,求出它周長的最小值;若不存在,請說明理由

問題解決

3)如圖③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件,使EFG=90°,EF=FG=米,EHG=45°,經(jīng)研究,只有當(dāng)點EF、G分別在邊ADAB、BC上,且AFBF,并滿足點H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時,才有可能裁出符合要求的部件,試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件?若能,求出裁得的四邊形EFGH部件的面積;若不能,請說明理由

【答案】(1)作圖見解析;(2)存在,最小值為;(3)能,

【解析】

試題分析:(1)作B關(guān)于AC 的對稱點D,連接AD,CD,△ACD即為所求;

(2)作E關(guān)于CD的對稱點E′,作F關(guān)于BC的對稱點F′,連接E′F′,得到此時四邊形EFGH的周長最小,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,于是得到AF′=6,AE′=8,求出E′F′=10,EF=即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)余角的性質(zhì)得到1=∠2,推出△AEF≌△BGF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG,AE=BF,設(shè)AF=x,則AE=BF=3﹣x根據(jù)勾股定理列方程得到AF=BG=1,BF=AE=2,作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG,則四邊形EFGO是正方形,∠EOG=90°,以O(shè)為圓心,以EG為半徑作⊙O,則∠EHG=45°的點在⊙O上,連接FO,并延長交⊙O于H′,則H′在EG的垂直平分線上,連接EH′GH′,則∠EH′G=45°,于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件,根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,△ADC即為所求;

(2)存在,理由:作E關(guān)于CD的對稱點E′,作F關(guān)于BC的對稱點F′,連接E′F′,交BC于G,交CD于H,連接FG,EH,則F′G=FG,E′H=EH,則此時四邊形EFGH的周長最小,由題意得:BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,∴AF′=6,AE′=8,∴E′F′=10,EF=,∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=,∴在邊BC、CD上分別存在點G、H,使得四邊形EFGH的周長最小,最小值為;

(3)能裁得,理由:∵EF=FG=,∠A=∠B=90°,∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°,∴∠1=∠2,在△AEF與△BGF中,∵∠1=2,A=B,EF=FG,∴△AEF≌△BGF,∴AF=BG,AE=BF,設(shè)AF=x,則AE=BF=3﹣x,∴,解得:x=1,x=2(不合題意,舍去),∴AF=BG=1,BF=AE=2,∴DE=4,CG=5,連接EG,作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG,則四邊形EFGO是正方形,∠EOG=90°,以O(shè)為圓心,以EG為半徑作⊙O,則∠EHG=45°的點在⊙O上,連接FO,并延長交⊙O于H′,則H′在EG的垂直平分線上,連接EH′GH′,則∠EH′G=45°,此時,四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的,∴C在線段EG的垂直平分線設(shè),∴點F,O,H′,C在一條直線上,∵EG=,∴OF=EG=,∵CF=,∴OC=,∵OH′=OE=FG=,∴OH′<OC,∴點H′在矩形ABCD的內(nèi)部,∴可以在矩形ABCD中,裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件,這個部件的面積=EGFH′==,∴當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時,裁得了符合條件的最大部件,這個部件的面積為()m2

練習(xí)冊系列答案
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小敏在思考問題是,有如下思路:連接AC

結(jié)合小敏的思路作答

1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由;參考小敏思考問題方法解決一下問題:

2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD

①當(dāng)ACBD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結(jié)論并證明;

②當(dāng)ACBD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結(jié)論

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