【題目】閱讀下面材料:

在數(shù)學課上,老師請同學思考如下問題:如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,FG,H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎?

小敏在思考問題是,有如下思路:連接AC

結合小敏的思路作答

1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由;參考小敏思考問題方法解決一下問題:

2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD

①當ACBD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結論并證明;

②當ACBD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結論

【答案】(1)是平行四邊形;(2)AC=BD;AC⊥BD.

【解析】

試題分析:(1)如圖2,連接AC,根據(jù)三角形中位線的性質得到EF∥AC,EF=AC,然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結論;

(2)由(1)知,四邊形EFGH是平行四邊形,且FG=BD,HG=AC,于是得到當AC=BD時,F(xiàn)G=HG,即可得到結論;

根據(jù)平行線的性質得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論.

試題解析:(1)是平行四邊形證明如下

如圖2,連接AC,∵E是AB的中點,F(xiàn)是BC的中點,∴EF∥AC,EF=AC,同理HG∥AC,HG=AC,綜上可得:EF∥HG,EF=HG,故四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)AC=BD.

理由如下:

由(1)知,四邊形EFGH是平行四邊形,且FG=BD,HG=AC,∴當AC=BD時,F(xiàn)G=HG,∴平行四邊形EFGH是菱形;

當AC⊥BD時,四邊形EFGH為矩形;理由如下:

同(2)得:四邊形EFGH是平行四邊形,∵AC⊥BD,GH∥AC,∴GH⊥BD,∵GF∥BD,∴GH⊥GF,∴∠HGF=90°,∴四邊形EFGH為矩形.

練習冊系列答案
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問題解決

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