Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=3，以C為圓心，1為半徑作圓，P為⊙C上一動點(diǎn)，連AP，并繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到P′，連接CP′，則CP′的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),圓的認(rèn)識

專題：

分析：連接CP、BP′，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAP=∠BAP′，然后利用“邊角邊”證明△APC和△AP′B全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PC=P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可．

解答：解：如圖，連接CP、BP′，
∵∠BAC=60°，旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠CAP+∠CAP′=∠BAP′+∠CAP′=60°，
∴∠CAP=∠BAP′，
在△APC和△AP′B中，

AP=AP′ ∠CAP=∠BAP AB=AC

，
∴△APC≌△AP′B（SAS），
∴PC=P′B=1，
∵BC=AB=AC=3，
在△BCP′中，有2＜CP′＜4，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到等號，此時(shí)不是三角形，但符合題意．
所以，CP′的取值范圍是：2≤CP′≤4．
故答案為：2≤CP′≤4．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的認(rèn)識，三角形的三邊關(guān)系，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．