Question

2．已知拋物線：y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$與x軸交A、B兩點（ 點A在點B的左邊），頂點為C，若點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與x軸，直線BC都相切，求P點坐標．

Answer 1

分析 首先求出A、B、C坐標，由Rt△CHB∽Rt△CMP，列出方程即可解決問題，注意有兩種情形．

解答 解：如圖，令y=0
所以-$\frac{4}{9}$Zx²-$\frac{8}{9}$Zx+$\frac{32}{9}$=0
解得：x₁=-4；x₂=2
A（-4，0）；B（2，0），
頂點C（-1，4）
設拋物線的對稱軸與X軸的交點為H，⊙P的半徑為R
在Rt△CHB中∠CHB=90°；BH=3；CH=4
由勾股定理知：BC=5
作PM⊥BC于M，
∵∠HCB=∠PCM，∠CHB=∠PMC，
∴Rt△CHB∽Rt△CMP
∴$\frac{PM}{BH}$=$\frac{CP}{BC}$
①當點P 在X軸上方時$\frac{R}{3}$=$\frac{4-R}{5}$
R=$\frac{3}{2}$，P（-1，$\frac{3}{2}$）
②當點P 在X軸下方時$\frac{R}{3}$=$\frac{4+R}{5}$
R=6；所以P（-1，-6）
綜上所述P（-1，$\frac{3}{2}$）或 P（-1，-6）．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點，圓的有關知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．