Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AH⊥BC于H（H在邊BC上），若BH=1，CH=2，則AH=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：如圖，過C作⊥AB，垂足為E交AH于F，由∠BAC=45°可以得到CE=AE，再根據(jù)已知條件可以證明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=3，而∠FCH=∠DAC，又∠CHF=∠AHB=90°，由此可以證明△CHF∽△AHB，所以FH：HB=CH：AH，設FH長為x，則可建立關于x的方程，解方程即可求出FH，AH的長．

解答：解：如圖，過C作CE⊥AB，垂足為E交AH于F；
則∠AEF=∠CEB=90°，
∵∠BAC=45°
∴CE=AE，
∵∠B+∠ECB=90°，∠B+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BH+CH=3，
又∵∠CHF=∠AHB=90°
∴△CHF∽△AHB
∴FH：BH=CH：AH，
設FH長為x
即x：1=2：（x+3）
解得：x=

-3± 17

2

（負值不合題意，舍去）
∴x=

-3+ 17

2

，即FH=

-3+ 17

2

，
∴AH=AF+FH=3+

-3+ 17

2

=

3+ 17

2

．
答：AH長為

3+ 17

2

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質以及三角形相似的判定和性質，并通過設未知數(shù)列方程得出答案．