【題目】如圖所示,點D是等腰Rt△ABC的斜邊BC上一動點,連接AD,作等腰Rt△ADE,使AD=AE,且∠DAE=90°連接BE、CE.
(1)判斷BD與CE的數(shù)量關系與位置關系,并進行證明;
(2)當四邊形ADCE的周長最小值是6時,求BC的值.
【答案】(1)BD=CE,BD⊥CE;理由見解析;(2)BC=3.
【解析】
(1)利用SAS證出△ABD≌△ACE,然后根據全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可求出結論;
(2)根據周長公式即可求出,四邊形ADCE的周長=2AD+BC,其中BC為定值,四邊形ADCE的周長最小,即AD最小,當AD⊥BC時,根據垂線段最短,此時AD最小,則四邊形ADCE的周長最小,根據三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得AD=BC,從而求出BC.
解:(1)BD=CE,BD⊥CE;
理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD與△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°,
∵∠ACB=45°,
∴∠BCE=90°,
∴BD⊥CE;
(2)∵四邊形ADCE的周長=AD+AE+CE+CD=2AD+BD+CD=2AD+BC,其中BC為定值,
∴四邊形ADCE的周長最小,即AD最小,
當AD⊥BC時,根據垂線段最短,此時AD最小,則四邊形ADCE的周長最小,
∵△ABC為等腰三角形,AD⊥BC
∴AD=BC
∴此時四邊形ADCE的周長= 2AD+BC=2×BC+BC=6
解得:BC=3.
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【題目】計算下列各題:
(1)4+(-2)=_____________; (2)-3-(-2)=__________;
(3)-2×5=_____________; (4)-6÷(-3)=__________;
(5)=_____________; (6)=__________;
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【題目】如圖1,長方形的邊在數(shù)軸上,為原點,長方形的面積為12,邊的長為3.
(1)數(shù)軸上點表示的數(shù)為________.
(2)將長方形沿數(shù)軸水平移動,移動后的長方形記為,設長方形移動的距離為,移動后的長方形與原長方形重疊部分的面積記為.
①當等于原長方形面積的時,則點的移動距離_______,此時數(shù)軸上點表示的數(shù)為_______.
②為線段的中點,點在線段上,且當點,所表示的數(shù)互為相反數(shù)時,則的值為_______.
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【題目】如圖1,菱形ABCD,AB=4,∠ADC=120o,連接對角線AC、BD交于點O,
(1)如圖2,將△AOD沿DB平移,使點D與點O重合,求平移后的△A′BO與菱形ABCD重合部分的面積.
(2)如圖3,將△A′BO繞點O逆時針旋轉交AB于點E′,交BC于點F,
①求證:BE′+BF=2,
②求出四邊形OE′BF的面積.
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【題目】如圖,A,B兩點在反比例函數(shù)y=的圖象上,C,D兩點在反比例函數(shù)y=的圖象上,AC⊥x軸于點E,BD⊥x軸于點F,AC=2,BD=3,EF=,則k2-k1的值為( )
A. 4 B. C. D. 6
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【題目】如圖A、O、E三點在同一條直線上,∠AOB=∠COD=90°,觀察圖形后有以下四個結論,其中正確的結論是( 。
A.∠BOC=∠AOC=∠BOD
B.圖中小于平角的角有6個
C.∠BOC與∠AOD互補
D.∠BOD和∠AOC互余
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【題目】對于任意有理數(shù)a,b,定義運算:a⊙b=a(a+b)﹣1,等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算,例如,2⊙5=2×(2+5)﹣1=13;(﹣3)⊙(﹣5)=﹣3×(﹣3﹣5)﹣1=23.
(1)求(﹣2)⊙3的值;
(2)對于任意有理數(shù)m,n,請你重新定義一種運算“⊕”,使得5⊕3=20,寫出你定義的運算:m⊕n= (用含m,n的式子表示).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x-2與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)y=在第一象限內的圖象相交于點B(m,2).
(1)求該反比例函數(shù)的關系式;
(2)若直線y=x-2向上平移后與反比例函數(shù)y=在第一象限內的圖象相交于點C,且△ABC的面積為18,求平移后的直線對應的函數(shù)關系式.
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【題目】矩形紙片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形邊上有一點P,且DP=3.將矩形紙片折疊,使點B與點P重合,折痕所在直線交矩形兩邊于點E,F(xiàn),則EF長為_____.
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