Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S．
（1）分析與計(jì)算：求正方形ODEF的邊長(zhǎng)；
（2）操作與求解：
①正方形ODEF平行移動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是______；
A、逐漸增大 B、逐漸減少 C、先增大后減少 D、先減少后增大
②當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求S的值；
（3）探究與歸納：
設(shè)正方形ODEF的頂點(diǎn)O向右移動(dòng)的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）∵S_ODEF=S_ABCO=

1

2

（4+8）×6=36，（2分）
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
∴x²=36，x=6或x=-6（舍去）．（2分）

（2）由圖形的移動(dòng)可知，從OF出發(fā)，重疊部分面積逐漸增大，
當(dāng)OF和BC重合時(shí)面積最大，繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，面積將減�。�
故選C．（2分）
過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交x軸于G，所以AE=DG=EB-AB=6-4=2．當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，OD=OC-CD=8-6=2；
于是重疊部分的面積是S=S_梯形AMDG+S_矩形AGCB=

1

2

（3+6）×2+6×4=33．（3分）

（3）①當(dāng)0≤x＜4時(shí)，重疊部分為三角形，如圖①．
可得△OMO′∽△OAN，
∴

MO′

6

=

x

4

，MO′=

3

2

x．
∴S=

1

2

×

3

2

x•x=

3

4

x²．（1分）

②當(dāng)4≤x＜6時(shí)，重疊部分為直角梯形，如圖②．
S=（x-4+x）×6×

1

2

=6x-12．（1分）

③當(dāng)6≤x＜8時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖③．
可得，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，6），故OA的解析式為：y=

3

2

x，
∴MD=

3

2

（x-6），AF=x-4．
S=

1

2

×（x-4+x）×6-

1

2

×

3

2

（x-6）（x-6）
=-

3

4

x²+15x-39．（1分）

④當(dāng)8≤x＜10時(shí)，重疊部分為五邊形，如圖④．
S=SAFO'DM-SBFO′C=-

3

4

x²+15x-39-（x-8）×6
=-

3

4

x²+9x+9．（1分）

⑤當(dāng)10≤x≤14時(shí)，重疊部分為矩形，如圖⑤．S=[6-（x-8）]×6=-6x+84．（1分）

（用其它方法求解正確，相應(yīng)給分）．