Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結(jié)論：①tan∠AEC=

BC

CD

；②四邊形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；⑤圖中的相似三角形有10對．正確結(jié)論是（　�。�

• A、①②③④
• B、①②③⑤
• C、①③④
• D、①③⑤

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,矩形的判定,銳角三角函數(shù)的定義

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及△ABC∽△EDC的對應(yīng)邊成比例知，

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

；然后由正切函數(shù)的定義得tan∠AEC=

AC

EC

，再由等量代換求得tan∠AEC=

BC

CD

；
②作梯形ABDE的中位線MN，根據(jù)梯形的中位線定理及矩形的判定定理解答；
③利用HL證明△EGM≌△MHA；
④由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab（a=b時取等號）解答；
⑤圖中的等腰直角三角形有7個，而任意兩個等腰直角三角形都相似，則相似三角形有21對，還有1對△EGM∽△MHA．

解答：解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°．
∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

．
①∴tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

，故本選項正確；
②作梯形ABDE的中位線MN，則MN∥AB∥DE，MN=

1

2

（AB+ED）．
∵M(jìn)N∥AB，∠ABC=90°，
∴MN⊥BD，
∵N為BD中點，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM，
又∵M(jìn)N=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD）=

1

2

BD，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形，
∴∠BDM=∠DBM=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠CGM=∠CDG+∠DCG=45°+45°=90°，
∴∠HCG=∠CGM=∠GMH=90°，
∴四邊形CGMH是矩形，故本選項正確；
③∵四邊形CGMH是矩形，
∴CG=MH，
∵△CDE為等腰直角三角形，DG⊥CE，
∴CG=EG，
∴EG=MH．
在△EGM與△MHA中，∠EGM=∠MHA=90°，

EM=MA EG=MH

，
∴△EGM≌△MHA，故本選項正確；
④∵S_△ABC=

1

2

AB²，S_△CDE=

1

2

DE²，S_梯形ABDE=

1

2

（AB+DE）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=

1

2

（AB+DE）²-

1

2

AB²-

1

2

DE²=AB•DE，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（AB²+DE²）≥AB•DE（AB=DE時取等號），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE，故本選項正確；
⑤圖中的等腰直角三角形有△ABH、△BCH、△DCG、△DEG、△ABC、△CDE、△BMD，一共7個，而任意兩個等腰直角三角形都相似，則相似三角形有21對，還有1對△EGM∽△MHA，故本選項錯誤．
故選A．

點評：本題考查了相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，梯形的中位線定理，矩形的判定，全等三角形的判定，銳角三角函數(shù)的定義，不等式的性質(zhì)等知識．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．