Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB叫AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

∴DE=CE．

∵AB∥CF，

∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE與△FCE中，

∵ ，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）解：由（1）得，CD=2DE，

∵DE=2，

∴CD=4．

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，

∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．

∵AB∥CF，

∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，

∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，

∴BC= AB= ×8=4

【解析】（1）先根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根據(jù)AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．