Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C（4，0），且tan∠OBC=

2

3

．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）延長(zhǎng)BC交拋物線于D，連接AB、AD，求△ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)正切的定義得到tan∠OBC=

OC

OB

=

2

3

，則OB=6，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6），把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得c=-6；利用拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程可得b=4，從而可確定拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=

3

2

x-6，再根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題解方程組

y= 3 2 x-6 y=- 1 2 x2+4x-6

得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

3

2

），根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△ABD=S_△ADC+S_△ABC進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）在Rt△OBC中，OC=4，
∵tan∠OBC=

OC

OB

=

2

3

，
∴OB=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6），
∴c=-6，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=4，
∴-

b

2×(- 1 2 )

=4，解得b=4，
∴二次函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²+4x-6；

（2）設(shè)BC的直線解析式為y=mx+n，
把B（0，-6），C（4，0）代入得

n=-6 4m+n=0

，解得

m= 3 2 n=-6

，
∴直線BC的解析式為y=

3

2

x-6，
解方程組

y= 3 2 x-6 y=- 1 2 x2+4x-6

得

x=0 y=-6

或

x=5 y= 3 2

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

3

2

），
∵方程-

1

2

x²+4x-6的解為x₁=2，x₂=6，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴S_△ABD=S_△ADC+S_△ABC=

1

2

×（4-2）×

3

2

+

1

2

×（4-2）×6=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．