Question

已知⊙O的直徑為5，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=3，則AC=

 

，BD=

 

；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理

專題：

分析：（1）BC為直徑可知△ABC為直角三角形，利用勾股定理可求得AC，再結合AD為角平分線，可得CD=BD，在Rt△CBD中可求得BD；
（2）連接OB、OD，則可知∠BOD=2∠DAB=∠CAB=60°，可知△BOD為等邊三角形，可知BD=OB，可求得BD的長．

解答：解：
（1）∵BC為直徑，
∴∠CAB=∠CDB=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，由勾股定理可求得AC=4，
在Rt△CBD中，BC=5，CD=BD，由勾股定理可求得BD=

5 2

2

，
故答案為：4；

5 2

2

；
（2）如圖，連接OB、OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，且OB=OD，
∴△BOD為等邊三角形，
∴BD=OB，
又直徑為5，
∴BD=2.5．

點評：本題主要考查圓周角定理及等邊三角形的判定和性質，掌握在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等是解題的關鍵．