Question

已知邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，

（1）如圖1，若AE⊥BF，求證：EA=FB；

（2）如圖2，若∠EAF=, AE的長為，試求AF的長度。

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，進而得到∠BAE=∠CBF，則△ABE≌△BCF，進一步根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行證明；

（2）延長CB至點G，使BG=DF，并連接AG和EF，先證△ABG≌△ADF（SAS），再證△AEG≌△AEF（SAS）；在RT△ABE中，根據(jù)勾股定理可求得BE=，設(shè)線段DF長為x，則EF=GE=x+，又CE=1-=，CF=1-x，最終在RT△ECF中，利用勾股定理得(+x)2＝+(1?x)2，求得x=，在Rt△ADF中，解得AF＝.

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，

∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF；

（2）延長CB至點G，使BG=DF,并連接AG和EF,先證⊿ABG≌⊿ADF（SAS），再證⊿AEG≌⊿AEF（SAS）；在RT⊿ABE中，根據(jù)勾股定理可求得BE=,設(shè)線段DF長為x,則EF=GE=x+，又CE=1-=,CF=1－x，最終在RT⊿ECF中，利用勾股定理得，求得x＝，在中，解得

考點: 1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理．