Question

如圖，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是線段AB上的一個動點(diǎn)，連接PD，PC

（1）設(shè)AP=x，用二次根式表示線段PD，PC的長；
（2）設(shè)y=PD+PC，求當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，y的最小值；
（3）利用（2）的結(jié)論，試求代數(shù)式的最小值．

Answer 1

解：（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD==；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC==；

（2）如右圖．作D點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′，交AB于P，則PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即為y的最小值．
過D′作AB的平行線，交CB的延長線于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′==13，
故y的最小值為13；

（3）如右圖．構(gòu)造圖形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=，PC=，
由對稱性可知，PC+PD的最小值為PC+PD′=CD′===25．
故代數(shù)式的最小值為25．
分析：（1）根據(jù)勾股定理即可用二次根式表示線段PD，PC的長；
（2）作D點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接CD′，根據(jù)勾股定理求出CD′的長，即為y的最小值；
（3）根據(jù)勾股定理構(gòu)造出圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短的方法即可求出代數(shù)式的最小值．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題，構(gòu)造出圖形利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．